皇族の人ですが、「×宮」というお名前と、「〇仁親王」「◇子内親王」というお名前がありますが、人によっては、「△子内親王」だけの人も居ます。これは、どこでどういうふうに決まっているのでしょうか。

現在の仕組みでは、新天皇に男子が誕生した場合、秋篠宮殿下は皇位継承順位第二位となり、新たに生まれた皇子が皇太子となります。
皇太弟（現在の法令にはありませんが）という場合は次の天皇になることが確定ということですので、新天皇に男子が誕生しても、皇太弟が次の天皇になります。
歴史的には皇太弟の例は少なく、養子にして皇太子とすることが多かったです。

本来は「皇嗣」という称号はなく、昭和天皇即位時の秩父宮（当時の皇位継承順位第一位）のように宮家の名で呼ばれるだけでした。
政治家か官僚かはわかりませんが、近年は皇室の歴史や伝統を軽視する人が制度を変えてしまっているようです。

>新たに生まれた皇子が皇太子さまなのですね。

次の天皇（現皇太子殿下）の場合はです。

>悠仁親王ではなく、その弟として生まれた方？というのも変かなと感じました。

秋篠宮殿下が天皇となったら、悠仁親王殿下が皇太子となります。

>女性宮家の創設を主張する人も、歴史や伝統を軽視しているのかもしれない

女性宮家は過去に事例があります。
創設だけなら、歴史や伝統に反するとまでは言えません。
ただ、女性皇族と臣下の間の子が宮家を継承した事例はありません。