昔のタイプのディスプレイへのノートからの出口をHDMIに変換するケーブルを使った場合、画質劣化しますか？気にすることなどありますか？

昔のタイプとはどの程度かはっきりしませんが、D-sub15ピンのVGAならアナログですから、HDMIのデジタルへ大きく変換しなければならず、かなり問題が出るであろうと思います。PC内部ではデジタルで処理され、それをアナログに変換して15ピンで出しますので、それをまたデジタルへ変換する、つまり2重に無駄な事をやるので、そのたびに劣化します。
ほんのちょっと昔のDVIなら、これはデジタルであるし、しかもHDMIと規格が同じなので、単に配線をつなぎ替えるだけの事、劣化はしません。
DVIへの過渡期に何種類かのデジタル規格が乱立しましたので、これらはまた別にややこしくなります。
マックの昔の規格もまた別です。

色んな意見があると思います。

私の意見では変わりません。
ＨＤＭＩ自体がデジタルデータなので、ＨＤＭＩのケーブルの欠損がない限りは、眼で確認できるほどの差はありません。

また、音質に関して言うならばクロックジッターの多少は影響はあるでしょうが、人間の耳で判別できるほどでもないと思います。

　
https://urashita.com/archives/23088
　
DisplayPort1.4からの出力時　DisplayPort→HDMI変換ケーブルで変換した場合　映像が映らない、劣化するとのことです
DisplayPort1.4のヂュアルモード出力時　DisplayPort1.2→HDMI1.4変換ケーブルで変換した場合　映像が劣化するとのことです