質問サイトはサービス停止すると、質問や回答は削除されますか？

「サービス停止」が、「投稿はできないけど、参照はできるようにしておくよ」というケースは、寡聞にして知りません。
参照ができるということは、DBスペースもそのまま残しておくし、参照のためのプログラムが動くサーバも確保しておくということです。
つまり、コストがかかる。
質問サイトに限らず、ブログやWebメール、ファイルのアップロードサービスなんかも同じです。

はてなでも、

• http://space.hatena.ne.jp/ - はてなスペース
• http://ugomemo.hatena.ne.jp/ - うごメモはてな
• http://bottle.hatelabo.jp/ - はてなボトル
• http://one.hatena.ne.jp/guide/ - はてなOne

などなど。
全ての URL を、終了しましたページにリダイレクトして、最小限のサーバ構成にするのがせいぜいです。
＃ ひどいところは、DNS すら外してしまう