Bluetooth（以下“Bt”）ヘッドセット（以下“Hs”)を購入します。私の希望から言って、どんなHsを買えば良いでしょうか？

まずは一般論として。

現在お持ちの Plantronics Discovery 975SE は、Bluetooth 2.1 ですから、バージョンは 3.0 か 4.0 が良いでしょう。
（バージョンは 4.2 までありますが、4.2 対応の製品はあまりないようです）
2.1 よりも省電力になってますので、電池の持ちが良くなります。

プロファイルの方は A2DP、HFP、HSP で充分ですが、大抵のヘッドセットには備わっています。（HFP と HSP がなければヘッドセットにならない）

この2点からすれば、Plantronics M70 や JABRA MINI で良い事になるでしょう。
後は予算との兼ね合いで、どこまで上位の機種にするかの問題です。

さて、恐らく apt-X 対応の製品を期待されていると推測しますが、apt-X 対応の片耳ヘッドセットは、私が探した限りでは（少なくとも人気のある製品には）見つかりませんでした。
（ステレオイヤホン型なら各種あります）

ここから各論になりますが、そもそもお悩みの「送話・受話の遅延」は、Bluetooth の仕様に起因するものではないのではないかと考えます。
仕様が問題であれば、apt-X 対応の片耳ヘッドセットが存在してしかるべきです。
では何が問題かと言えば、ARROWS NX F-01F の不具合です。

ソースが 2ch なので恐縮ですが、ARROWS NX F-01F、一部でBluetooth接続に問題あり？　「音声が途切れる」、「遅延する」などの報告あり : スマホ口コミ評価速報 という記事があります。

Bluetoothの遅延について、ビデオカメラで計ってみた。（中略）
F-01F(atpX): 約15フレーム = 約0.50秒
F-05D(SBC): 約2フレーム = 約0.07秒
ものすごく遅延してる。

この報告からすると、apt-X 対応の製品を購入したとしても問題の解決にはならない可能性が高いでしょう。

ちなみに、当方の環境で Bluetooth ヘッドセットの遅延を感じられるかテストしてみました。
スマホ：Xperia Acro HD IS12S (2012年3月発売)
ヘッドセット：Sony DRC-BTN40 (Bluetooth 2.1)
という旧式な組み合わせですが、Youtube の動画を見る限りでは、明らかな音声の遅延は感じられませんでした。
（私の耳が悪いだけなのかもしれませんが）

というわけで、ヘッドセットを購入する前にスマホを買い換える事を検討される方が良いと愚考します。
お役に立てることを祈りつつ。