iPhoneのメールアプリに関する質問です。ズバリご回答、先着の方に100ptを送信いたします。

画像のボタンはアーカイブですね。
メールボックスのアカウント一覧で、問題のアカウント（Gmail等）を開き、「すべてのメール」というところを見てみてください。
アーカイブとは・・・メールのアーカイブ - Gmail ヘルプ

「アーカイブ」とは、メールを受信トレイから「すべてのメール」というフォルダに移動する操作です。ボタンは書類保管箱の形をしています。



メールは消去されません。「すべてのメール」フォルダにそのまま残っているので、後からキーワード検索で探し出せます。

メールの保存には空き容量が必要ですが、Gmail は 15GB までメールを保存できます。Google ドライブ・Google+ フォト利用時は利用できる容量が減ります。

iCloudメールでもアーカイブ機能を使う方法

受信したメールを保管できる「アーカイブ」機能は、iCloud メールでも使えます。

設定アプリの【メール/連絡先/カレンダー】を開きます。
「アカウント」で iCloud を選びます。
【アカウント】→【メール】の順にタップします。
【詳細】を開きます。
【アーカイブメールボックス】を選びます。

これでいつも通り削除ボタンをタップすると、そのメールは「アーカイブ」フォルダに移動されます。

設定が終わったら左上の【メール】ボタンをタップします。
【完了】ボタンをタップして設定完了です。
アーカイブ機能を利用すると、メールが消去されなくなります。

iCloud は最大 5GB までメールを保存できます。iPhone を iCloud でバックアップしていたり、書類を保存していると利用できる容量は減ります。
容量を使い切ってしまうと、新着メールを受信できなくなるので注意してください。
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