理系大学合格後の勉強についてです。

数学をやってみたいなら、ε-δ論に触れてみて、くじけたら、Non standardの無限小解析にチャレンジしてみるといいかも。正直言って機械工学なら、ε-δ論は特殊なケース以外では不要だと思いますね。
かくいう自分も機械屋ですがね。
森口先生の数学公式集全3巻を買って眺めているだけでも面白ですよ。

受験の理系科目は完璧ですか？
少なくとも、理系の大学では受験数学は自在に操れないとつらいですよ。
何のために受験で頑張って勉強するのかは、大学二年生になるときにわかります。

イプシロンデルタとか無限小解析とかいう意見に惑わされてはいけません。
それらは衒学的な遊び（高尚ですが）に過ぎません。
普通にエクセルでグラフをきれいに書く、マクロで
簡単なプログラムを書く、みたいな小技を身に着ける方が絶対幸せになれます。
数学の遊びをやるよりは、バイトしてソーラーカーの世界レースでも見に行く方が
1024倍くらい有益だと思います。

ていうか、去年のシラバスみて機械工学科１年生が使用する教科書を大学の近所の古書店で集めておいてパラ見しておけばいいよ。どうせ１年でとる単位なんてほぼ全部必修。
そんであっこりゃヤバイとおもった科目があれば今受験生がやってるのと同じ勉強やっとけば。