データベース・アプリ開発を依頼したいのですが、誰に、どの会社に頼めばいいのか、どのように進めるべきかわかりません。

　利用者1名のサービスって作り甲斐がないので、初期費用と運用費用それなりにかかるのは覚悟されたほうがよいかと。
　例えば、『アプリ開発概算お見積り|iPhoneアプリ制作開発・Webサイト制作|福岡|株式会社ハコブネ』で概算見積もりすると、初期開発費に45万円以上かかるようです。

　留意すべき重要な点として、他人のデータベースを勝手に再蓄積しようとして、偽計業務妨害の疑いで逮捕・勾留された方もいるので、(参考：Librahack ： 容疑者から見た岡崎図書館事件。逮捕された側の言い分なので、留意。)進め方としては、データの持ち主(ヤフオク)への問い合わせが、最初のステップかと思います。

　ヤフオク側の基本スタンスは、公表されています。曰く
http://docs.yahoo.co.jp/docs/info/terms/chapter1.html#cf5th

第5章　ソフトウエアに関する規則（ガイドライン）
<略>
本章でソフトウエアとは、<略>当社ウェブサービスのアプリケーション・プログラミング・インターフェース（API）<略>をいいます。
なお、ソフトウエアには、お客様がこれらを利用して自ら開発することができるものも含まれています。
お客様がそうしたソフトウエアを利用して自ら開発したソフトウエアコンポーネント（以下「開発ソフトウエア」といいます）については、お客様が一切の責任を負うことになります。
<略>
3.ソフトウエアに関する順守事項
ソフトウエアのご利用にあたっては、以下の行為が禁止されます。
<略>
（3）対価を受ける目的でソフトウエアまたは開発ソフトウエアを自ら利用し、または第三者に利用させること

これを素直に読むと、サービスの提供の対価をあなたからサービス提供会社は受け取れないのですが、『Yahoo!デベロッパーネットワークヘルプ - Yahoo! JAPANのWebサービスを商用目的で使いたい』なんてフォームもあるので、このフォームから問い合わせてもらうのはありかもしれません。