【1 + 2 + 3 + 4 + … = -1/12 を分かったつもりになりたい】

まず質問(a)についてですが、[6]です。

ここの「1+2+3+4+…」は、普通の人が思っている「1+2+3+4+…」ではありません。そういう意味では、むりやり選択肢から選ぶと、[5]かもしれません。

以下、どういうことか説明したいと思います。


やっていることとしては、かなり乱暴に言うと、こういうことに似ています。例えば、1+x+x^2+x^3+…というのは、xの絶対値が1より小さい場合、1/(1-x)と一致します。ここにむりやりx=2として「1+2+4+8+…=-1」としているようなものです。

もちろん、これを本気で言うのはただのバカです（そもそもx=2のときには、上の和は1/(1-x)に収束しないからです）。しかし、これが複素解析という分野の話になると、少し事情が異なってきます。複素解析では、一部で定義した関数を拡張して考える、というのはとても自然な発想なんです。本題に入るまえに、ちょっと長いですが複素解析の話を簡単に書きます。


複素解析とは、複素数の関数に対して微分や積分を考える分野です。基本的には実数の関数のときと似ているのですが、複素関数の微分というのは、実数の関数の微分より条件が厳しいんです。

微分というのは、ざっくりいうと「xをちょっと動かしたときにf(x)がどれだけ動くか」という比率を表したものですが、実数の場合、直線なのでxの動かし方が大小2方向しかありません。しかし複素数の場合は平面なので、動かし方がたくさんあるんですよね。上下左右に加え、斜めもあるし、回転しながらもありえる。どんな動かし方をしても、収束値が1つにならないと微分可能とはいえません。なので、「実数の世界で微分可能」というのと「複素数の世界で微分可能」というのは、ぜんぜん厳しさが違うんです。

「複素数の世界で微分可能」という条件が厳しすぎるため、次のような不思議なことが成り立ってしまいます：「微分可能な2つの複素関数が、一部分で一致していたら、全体でも一致している（ざっくり表現）」。他にも不思議なことが成り立つのですが、このようにもはや「実数の世界の微分可能」とは全く違うため、「複素数の世界で微分可能」な関数には「正則関数」という新たな名前がついているくらいです。

上で書いた性質を知れば、一部分で定義されている正則関数をどんどん広げていきたくなります。もし広げられれば、そんな正則関数は1つしかないとわかっているので、どうせなら広くしたほうがいいですよね。数学の世界では、複素解析に限らず、どんどん広げて拡張する、というのはよくある話なんです。このように、正則な複素関数の定義域をどんどん広げていく手法を「解析接続」と言います。


ここでようやく本題に戻ってくるのですが、「1+2+3+4+…」を計算するときの手順を書いていきます。まず、この式を一般化した次の関数を考えます。

Σn^(-s)　（nはすべての自然数を走る、sは任意の複素数）

これには「ゼータ関数」という名前がついていて、ζ(s)と表します。ちなみに、ζ(-1)というのが、「1+2+3+4+…」と一致しているわけですね（この時点では）。

このゼータ関数は、sの実部が1以下の場合は発散しますが、それ以外では収束します。そこで、その収束する部分に対しては収束値を計算し、次に上述の解析接続をするんですね。収束している領域では一致していて、かつ、正則な関数というのは1個しかないので、「発散している領域に対しては、その正則な関数で上書きする」ということです。

つまり、ζ(-1)はもともと発散していたんだけれども、解析接続によってζ(-1)が定義できるようになったんです（正則なまま拡張する、という条件で広げているので定義できるようになった）。複素解析の世界では、この新しい関数をゼータ関数だと思い直して扱うんです。もちろん、もともと発散していた領域に対しては、中身は違っているんですよね。

この新しいゼータ関数でのζ(-1)は、特殊な計算をすると-1/12と計算できるんですね。ただ、このζ(-1)を「1+2+3+4+…」と書いちゃうのは、厳密に言えば間違っているんです。解析接続した後は、式も変わっているはずだからです。

しかし、複素解析を学んだ人たちにとっては、解析接続をするのは自然なことだし、ゼータ関数が上のように解析接続して得られた関数であることも知っています。なので、「1+2+3+4+…=-1/12」と書いただけで、「あぁ、Σn^(-s)を解析接続してs=-1を入れた値が-1/12なんだな」とわかるんですね。

よって、上でも書いた通り、「1+2+3+4+…」は普通の人が思っている「1+2+3+4+…」ではない、が正解じゃないかな、と思います。

普通の人が、「1+2+3+4+…=-1/12」は変だ、というのはとても自然なことです。普通の式では成り立たないからです。しかし、数学やってる人が、「1+2+3+4+…=-1/12」は変だ、と言っても、「ゼータ関数も知らんとは」と言われて終わりです。


ちなみに、「無理やり」-1/12となる計算も書いておきましょう。上のように解析接続をすることには意味はありますが、次の式変形にはあまり意味はないです。その点ご注意ください。

まず、xの絶対値が1未満なら次が成り立ちますね。等比級数の和です。
1+x+x^2+… = 1/(1-x)

これをxの関数だと思って、両辺微分するとこうなります。
1+2x+3x^2+… = 1/(1-x)^2

上の式は、x=-1の時は成り立ちませんが、「無理やり」代入します。
1-2+3-4+5-… = 1/4

ここで左辺を「1+2+3+4+…」が無理やり出てくるように変形します。よくみると、偶数の箇所だけ符号が違うので、そこだけひけばいいですね。
1-2+3-4+…
= (1+2+3+4+…) -2×(2+4+6+…)
= (1+2+3+4+…) -4×(1+2+3+…)
= -3×(1+2+3+4+…)

これが上の式の右辺1/4に一致するので、1+2+3+4+…は-1/12と「無理やり」計算できます。しかし、何回も書きますが、数学的にはこの式変形は意味がないです。発散する式に値を代入しているからです。ただ、分かったつもりにはなるかもしれません。

ちなみに、「1+2+3+4+…=-1/12」の左辺は解析接続前の表現なので、こう書くのは乱暴なのですが、上の変な式変形からわかるとおり、まったくでたらめだというわけでもありません。この式に意味付けをする分野もあります。なぜ意味づけが可能かというと、この値の算出の背景に解析接続という複素解析の理論が使われているからだと思います。間違っても、「上の式変形が成り立つから」とは思わないでください。


質問(b)について、上で書いた複素解析の分野は、他にもおもしろい数式が出てくるので楽しいと思います。数式をポンと出せるほど、結果を覚えているわけではないのですが、「複素積分　実積分への応用」などで検索してみてはどうでしょうか。実数関数の積分なのに、一度複素数の世界で考えると解けるというのは、とても不思議な感じがしますし、上の話題とも少しは関連しているのでおもしろいと思います。