6-20 高校数学の確率

そうだと思います。(^_^;

連続型の確率の定義あたりをみるといいかも。
http://www1.tcue.ac.jp/home1/ymiyatagbt/sils08_09.pdf

上のPDFに書いてある通り、確率は面積になります。ae^(-x/3)か0は確率じゃなくて、確率密度になっています。(^_^;

>通話時間が3(n-1)分から3n分の確率は何になるんですか？n次第で0から180…

0≦ｘ≦180を3(n-1)≦ｘ≦3ｎで分けてやればよいのですが、具体的に考えてみましょう。
たとえば、
n=1のとき、3(1-1)≦ｘ≦3*1 ⇔ 0≦ｘ≦3
n=2のとき、3(2-1)≦ｘ≦3*2 ⇔ 3≦ｘ≦6
n=3のとき、3(3-1)≦ｘ≦3*3 ⇔ 6≦ｘ≦9
...
n=59のとき、3(59-1)≦ｘ≦3*59 ⇔ 174≦ｘ≦177
n=60のとき、3(60-1)≦ｘ≦3*60 ⇔ 177≦ｘ≦180

模範解答では、n=1から、n=60まで分けて、総和を求めてるようですね。(^_^;

>0分から180分となる確立はae^(-x/3)なんですよね
これが勘違いのもとですね。ae^(-x/3)というのは、確率ではなく、0≦ｘ≦180の範囲のｘにおける確率密度関数になっています。
上のPDFにはその辺のところが、分かりやすく書いてあります。

　この場合、離散的なので総和で面積を求めます。縦長の短冊を足し合わせるイメージ。(^_^;
上のPDFで言えば、3ページ目の上から2番目のような感じのグラフをイメージして下さい。
n=1のとき、3(1-1)≦ｘ≦3*1 ⇔ 0≦ｘ≦3 ⇒ 10n*{-3a(e^{-n}-e{-(n-1)})}=(10*1)*{-3a(e^{-1}-e{-(1-1)})}
n=2のとき、3(2-1)≦ｘ≦3*2 ⇔ 3≦ｘ≦6 ⇒ (10*2)*{-3a(e^{-2}-e{-(2-1)})}
n=3のとき、3(3-1)≦ｘ≦3*3 ⇔ 6≦ｘ≦9 ⇒ (10*3)*{-3a(e^{-3}-e{-(3-1)})}
...
n=59のとき、3(59-1)≦ｘ≦3*59 ⇔ 174≦ｘ≦177 ⇒ (10*59)*{-3a(e^{-59}-e{-(59-1)})}
n=60のとき、3(60-1)≦ｘ≦3*60 ⇔ 177≦ｘ≦180 ⇒ (10*60)*{-3a(e^{-60}-e{-(60-1)})}

n=1から、n=60まで、右側の式（(10*1)*{-3a(e^{-1}-e{-(1-1)})}から(10*60)*{-3a(e^{-60}-e{-(60-1)})}まで）を足し合わせて総和を求めて面積即ち期待値（平均値）を求めます。
　この操作を模範解答では、
Σ[n=1,60]10n・3a(e^{-n+1}-e^{n})
とやっています。ちなみに、-3a(e^{-n}-e{-(n-1)})＝3a(e^{-n+1}-e^{n})

　あ、上は期待値になってました。(^_^;
　確率の場合は、たとえば、
n=1のとき、3(1-1)≦ｘ≦3*1 ⇔ 0≦ｘ≦3のとき
⇒ -3a(e^{-n}-e{-(n-1)})=-3a(e^{-1}-e{-(1-1)})=3a(e^0-e^{-1})=3a(1-e^{-1})
以下同様にして求めていけばいいと思います。(^_^;