現在販売している　らくらくパソコン　とことんサポートPCのような　PC初心者＆シニア向けのパソコンを教えてください

シニア向けノートPC「GRANNOTE AH90/P」はいかがでしょうか。
リモートサポートなどのウェブサービスが標準で付属されています。
http://ascii.jp/elem/000/000/860/860122/
アドバイザーによるサービス概要の説明、リモートサポートによる直接指導や操作代行のサポートが受けられる。
・スタートボタン付きマウスが標準付属
・見やすいキーボードに視覚特性補正
・3や6などの数字が判別しやすいユニバーサルフォントを採用
・加齢の影響による視覚特性を補正する「あわせるビュー」などの補助機能

シニアには機能性よりもディスプレイの見やすさが重要になります。
それを考えると一体型でディスプレイの大きい物をがお勧めです。

Lenovo C240

• 出版社/メーカー: Lenovo
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それに加えてサポートサービスに加入されてはいかがでしょうか。
特に電話対応があると喜ばれますよ。
https://flets.com/osa/houmon/s_fee.html

ESPRIMO WF2/L

画面が23型ワイドと大きく、キーボードもノートPCより大きいしストロークも長いので、老眼でも大丈夫です。
テレビ、ブルーレイ、リモコンが付いているので、普通のAV家電としても使えます。
Officeモデルもあるので、面倒なインストールの手間も省けます。
http://www.fmworld.net/fmv/fh_23/

富士通 デスクトップパソコン FMV ESPRIMO FHシリーズ（Office Home and Business 2013） FMVF78LDB

• 出版社/メーカー: 富士通
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これに富士通のPCコンシェルジェサービスを付ければ、いろいろ相談に応じてもらえます。
https://azby.fmworld.net/concierge/

dynabook D513 D513/32K PD51332KSX

東芝 dynabook REGZA PC D513/32LB [Office付き] (プレシャスブラック) PD51332LSXB

• 出版社/メーカー: 東芝
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マイクロソフト Surface Pro 2 128GB 単体モデル [Windowsタブレット・Office付き] 6NX-00001 (チタン)

• 出版社/メーカー: マイクロソフト
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ネット中心にやるのであれば、PCよりもタッチパネル操作が中心のタブレットのほうが使いやすいでしょう。
絶対にこちらが便利ですよ。もちろんWindowsですからPCとしての活用もばっちりです。
http://www.microsoftstore.com/store/msjp/ja_JP/html/pbPage.PDPS/productID.289225400?WT.mc_id=HomeNewInfoSurfacePro2

NEC LaVie G タイプX
http://xn--x3t492ap0e86a.net/pc/senior-for-biz-2/1000/

予算に余裕があればですが、
PCの機種選定も重要だと思いますが、ご近所のPCサポート会社にとことんサポートしてもらって、設定もシニアに優しいものにしてもらうというのも一つの手です。