プロジェクトにおいて、事務局とはなにを行う部署なのでしょうか？また、PMOとの違いを教えていただけないでしょうか？

通常のプロジェクトだとプロデューサーがいますね。
プロデューサーの発案がプロジェクトの骨格を作ります。

事務局は調整役ですね。
プロジェクトを進めるための調査、発注やスケジュールの調整、予算の見積もりや支払い、場合によったら予算の調達のためにも活動します。

最終的な目的や完成時期などはプロデューサーの考えることですが、事務局はプロデューサーが考えたことを実行するために様々な活動をする・・というのが本来の姿でしょう。
途中から別の目的や事業が付随して出てくることもありますが、それはまた別の問題でしょう。

また、現場の状況を把握し、必要な調整を加えることも多々あります。
プロデューサーへの連絡と報告も逐次行うべきでしょう。
現場がどうなっているか正確に分からない・・というのは最悪ですが、コレが多い話なんですけどね。
そうならないように部分的な責任と権限も委託されることが多い。
あるいはプロデューサーが全ての差配をしようとすることもあります。
その辺りは色々です。

なお、PMOとの区別はないと思います。