id:h1r0ok
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科学・統計資料

ポアンカレ予想を証明したいのです。


当方電気工学修士です。職業はプログラマーです。
「工学部修士レベル」の数学からスタートしてポアンカレ予想を証明したいと思って，
いろいろと調べているのですが，どうも「無理である」という結論にしか達しません。

どなたかわたしにポアンカレ予想の証明方法を教えていただけませんでしょうか。

■ 重要な点
・余計な情報はいらない
・いまのところ，このページが回答に一番近い感じがする
http://d.hatena.ne.jp/keyword/%A5%DD%A5%A2%A5%F3%A5%AB%A5%EC%CD%BD%C1%DB
・が，17行目以降くらい
「2002年から2003年に掛けてロシア 人数学者グリゴリー・ペレルマンは...」
以下の文章は，ポアンカレ予想を証明するための文章ではない。ここからまったくわからなくなり，一歩も前に進まなくなる。

結局，直接ペレルマン氏の論文を読んでみるしかないんでしょうか ?

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  • 終了：2013/01/05 05:25:03
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回答（4件）

id:oil999 No.1

回答回数1728ベストアンサー獲得回数320

ポイント250pt

ペレルマンの論文自体は省略が多く、専門の数学者で無い限り読んでも理解できないと言われています。

この解法を一般人でも理解できるように詳しく解説したのが『解決！ ポアンカレ予想』（数学セミナー増刊　）です。
http://www.nippyo.co.jp/book/2996.html

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id:h1r0ok

追記
ペレルマン氏の論文 3点を arxive で入手して，読んでみようと思うんですが，よんでもたぶん理解できないんですよね。うーむ。

2012/12/29 10:20:07
id:h1r0ok

すいません，
さらに疑問が出てきて，また自己解決しました。
『解決！ ポアンカレ予想』を読んでもポアンカレ予想を証明できない，ということは，
下記の 11人のかたを集めても，ポアンカレ予想を証明できない，ということですよね。

小島定吉
糸川　銚
酒井　隆
戸田正人
小林　治
二木昭人
浦川　肇
十文字正樹
山口孝男
塩谷　隆
小林亮一

そうですよね。

2012/12/29 10:31:40
id:zzman No.2

回答回数299ベストアンサー獲得回数38

ポイント250pt

ＮＨＫスペシャルでポアンカレ予想についての放送が以前ございましてそれがとても面白かったものですからこちらの書籍も購入いたしました。

NHKスペシャル 100年の難問はなぜ解けたのか―天才数学者の光と影

NHKスペシャル 100年の難問はなぜ解けたのか―天才数学者の光と影



私には数学の素養も物理学の知識もありませんので質問されておる方が悩まれているレヴェルとは別次元のお話をしておるのかもしれませんが私のようなものでも何とは無しに分かったような気になったものですからもし未読でございましたら一読されることをお薦めする次第です。

こちらのサイトにもあらましが書いてございますのでご覧になっては如何かと存じます。

ＮＨＫスペシャル　１００年の難問はなぜ解けたのか――天才数学者の光と影　[著]春日真人 - 大澤真幸(社会学者) - 本の達人 | BOOK.asahi.com：朝日新聞社の書評サイト

http://book.asahi.com/ebook/master/2012072400049.html

id:h1r0ok

NHKスペシャルは，NHKオンデマンドで見たのですが，おもしろかったです。いいコンテンツだと思いました。

ご提示いただいた 「１００年の難問はなぜ解けたのか」とは違う「ポアンカレ予想本」 は何冊か読んでみたのですが，だいたい下記のような内容で，「証明そのもの」 は載っていませんでした。

・ポアンカレ予想というのはどういうものか
・ポアンカレ予想の歴史
・ペレルマンさんについて

「ポアンカレ予想の証明そのもの」 がズバリ載っている本があればぜひ読んでみたいのですが，そういう本はおそらく現時点では存在しないと思います。

ご紹介いただいた書籍は時間とお金とその他もろもろ余裕がありましたら読んでみたいと思います。ありがとうございました。

2013/01/05 03:38:18
id:mahosuto No.3

回答回数789ベストアンサー獲得回数28

ポイント250pt

http://b-chive.com/the-story-about-poincare-conjecture-and-grigory-yakovlevich-perelman/

http://kyokan.ms.u-tokyo.ac.jp/users/kokaikoz/milnor-j.pdf

こちらが参考になります。

id:h1r0ok

2番目の PDF は興味ぶかいですね。

しかし，ペレルマンさんの証明は解析幾何学を使ったもので，これとは違う証明の仕方だ (リッチフロー方程式がどうとか)，というふうに認識しているのですが。

したがって，一生懸命勉強して 2番目の PDF を理解できるようになってもポアンカレ予想は証明できない，ということだと思いますが，どうでしょうか。

2013/01/05 03:46:29
id:ruirui01231 No.4

回答回数641ベストアンサー獲得回数17

ポイント250pt

「ポアンカレ予想」の正確な数学的理解を目指して
http://tenmei.cocolog-nifty.com/matcha/2009/03/post-c749.html

コメント（5件)

  • id:ita
    ita 2012/12/29 23:40:16
    全部は無理としても簡単なバージョンはいけそうですね。
    n=2の場合を証明する
    サーストンの幾何化予想を証明する
    サーストンの幾何化予想が正しいと仮定してポアンカレ予想を証明する

    後の２つはリッチテンソルという相対性理論の道具を使うらしいですね。数学者もまさか
    そんな物理の考え方で証明できるとは思ってなかったとか。
    つまりガチ証明は物理と数学の両方の素養がいると思われます。
    一ヶ月ガチでリッチテンソルを勉強してそれがなんなのか他人に説明できるレベルになれば有望、
    でなければあきらめる、というのがいいのでは
  • id:ita
    ita 2012/12/30 23:12:17
    あるいは、命題の「逆」は用語を理解すればすぐ証明できそうです。知らないけど数学家の学部の知識くらいで。
    「3次元球面に同相であるなら単連結な3次元閉多様体である」
  • id:h1r0ok
    h1r0ok 2012/12/31 10:56:28
    ご回答ありがとうございます。

    ひとつめの回答について，
    おっしゃるとおり，かんたんなバージョンなら多少努力すればイケるんだと思います。でも，「簡単なバージョンを証明したこと」は「ポアンカレ予想を証明したこと」にはならないので，なんの意味もない行為になってしまいます。

    二つ目の回答について，
    「命題の逆を証明すること」は「命題を証明すること」とはまったく関係が無いので，これも意味のない行為になってしまいます。
    わたしも以前，「背理法でポアンカレ予想を証明できないかな」というアイデアは思いつきました。この場合，「命題の否定を仮定して，矛盾が見つかれば証明完了」ということですね。
    「単連結な3次元閉多様体なら，3次元球面に同相でない」を仮定して，矛盾を見つければよい，ということになります。

    あれ。背理法で証明すればいいのかな。わかんなくなってきました。
    ちょっとこの方向で検討してみます。
  • id:ita
    ita 2013/01/03 13:55:11
    うーん、「意味がない」は極端すぎやしませんか？
    ペレルマンが最後の未踏部分を踏破して証明を完成させた背後にはベースキャンプに相当する業績がいろいろあるわけで、それはマスコミに取り上げられないけど学問的には大きな意味があったわけで。
    ちなみにペレルマンが証明した部分だけでもチェックには専門家が手分けして何ヶ月かかかるというレベルらしいので、０から１００まで一人でやるとなると・・・
    それよりはごく一部分でもじっくり証明を追ってその面白い部分をblogとかで紹介するとかの方が意味があるんじゃないかと。
  • id:h1r0ok
    h1r0ok 2013/01/04 12:27:59
    すいません，ちと書き方が悪かったかもしれません。
    ご気分を害されたのであれば謝ります。ごめんなさい。「意味がない」 というのは 「よくない」 という意味ではないのです。


    最初の質問を投稿してから，(いろいろ調べものもして，) わたしのスタンスもだいぶ変わってきまして，とりあえず現在のスタンスを書きますね。


    A. 「ポアンカレ予想を証明する」 というのは「一般的な数学の命題を証明する」 のとはかなり違うものだ，と認識している

    B. おそらく，私には一生かかってもポアンカレ予想を証明することができない

    C. たぶん，世界中に，「ポアンカレ予想を証明できるひと」 というのは一人しかいないのではないかと思う


    たいだいまとめると，現在は上記のような認識です。


    「一般的な数学の命題の証明」 というのは，積み木を積んで，最終的な形状を作り上げる，みたいなものだと思っています。であるので，積み木を一個ずつ確認すれば，たいていの証明問題は時間さえかければなんとかなるんだと思います。


    しかし，ポアンカレ予想の証明は，上記と少し違う気がします。積み木だけでできていない気がする。oil999 さんが書いたように，ペレルマンさんは途中を省略することによって，なにか 「魔法のように」 ポアンカレ予想を証明してしまっており，誰もその 「魔法」 が理解できていない状態になっているんだと思っています。そして，数学的に矛盾はないようなので，「魔法」 は数学的に正当なものである，ということになっている。


    わたしはその 「魔法」 の部分が知りたかった (魔法が解けないと全体を証明できない) のですが，どうもそれは不可能なようです。


    で，ita さんのおっしゃるように，簡単なバージョンを解いたり，逆の命題を証明したり，ということは，数学的なベースという意味で，意味はあるのかもしれないのですが，「ペレルマンの魔法」 を解けるものではないわけです。そういう意味で，わたしは前回「(わたしにとって) 意味がない」 という発言をしました。


    ということで，現在はあきらめがついた感じです。正直あきらめることができてよかったと思ってます。しかし直接ペレルマンさんと話はしてみたいな，と思います。


    以上支離滅裂な感じになってきましたが，ita さんご回答ありがとうございました。

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