関数f(x)=-x^3+ax^2+bx+c が, 次の3つの条件を満たす時, a, b, c を決定して関数y=f(x)のグラフの概形を描け.
(A) 方程式f(x)=0の正の解はx=1だけである.
(B) f(x)はx=1で極値をとる.
(C) 2直線 x=0, y=0及び曲線y=f(x)で囲まれた部分の面積は3/4である.
No.1
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(A)f(1)=-1+a+b+c=0
∴a+b+c=1…①
(B)f'(x)=-3x^2+2ax+b
f'(1)=-3+2a+b=0
∴2a+b=3…②
(C)x^3の係数が負なのでグラフの形は、＼／＼型
正の解は1だけしかも、x=1で極値とのことで、グラフはx≧0でf(x)≦0になっています。よって、
∫[0,1]|-x^3+ax^2+bx+c|dx
∫[0,1](x^3-ax^2-bx-c)dx
=[x^4/4-ax^3/3-bx^2/2-cx][0,1]
=1/4-a/3-b/2-c=3/4
∴4a+6b+12c=-6…③
①②③を解いて、
(a,b,c)=(0,3,-2)
よって、求める関数f(x)=-x^3+3x-2
※参考URL
http://www.wolframalpha.com/input/?i=+-x%5E3%2B3*x-2
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%E2%88%AB_0%5E1%7C-x%5E3%2B3*x-2%7Cdx
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非常に分かり易い回答を有難うございます。
2012/03/21 18:46:43とても助かりました。
次回もご縁がありましたら是非よろしくお願いします。