e^(iπ) + 1 = 0

なかなか回答が付きませんね。
「3つの数」とは何か、とかの一般的な解説でいいんでしょうか？
私ができるのはその程度です。
もっとディープな所だと、本が一冊書けるようですけど。

e^(ix) が複素平面上の単位円になり、
e^(ix) = cosx + isinxでx=πの時、e^(iπ)=-1になるというのはイメージできるのですが、
e^(ix) がなぜ複素平面上の単位円になるのか、そもそも複素数（虚数）乗とはどうイメージしたらいいのか。
自然数乗、整数乗、有理数乗、無理数乗まではイメージできるのですが……

数学の人の答えを私も見たいなあと思っているのですが…


数学素人の大雑把な直感的理解ですと：


まず「虚数乗」を考える時は、「x^y は xをy回掛ける」という認識は持っていません。
むしろ「x^y は2引数の(何やらわからん)関数なんだけれど、yが自然数の時はたまたまxをy回掛けたものと一致する」って感じです。
(もちろん、実際はyが自然数の時の定義から徐々に自然につながるように拡張していったので、一致するのは当然なんですが)。


私の持っているイメージは、e^ix = cos(x) + i sin(x) の方が実は指数の「本来の姿」をよく表していて、それを自然数の世界というスクリーンの上に影絵のように投影すると、たまたま 「xをy回掛ける」ということになっている、というものです。
私は電気系の出身で、電気の世界では波をe^ixの形でずっと扱って最後に実数部だけ見る、というような技をよく使ったので、余計そう思うのかもしれません。


で、何でeと三角関数がつながるの、ということですが、鍵は微分にあるような気がしています。


e^x のひとつの定義は何回xで微分しても e^x になる、というものです。色々なaを使ってa^xの微分を数値計算などで概算してみると、aが2だと微分すると小さくなり、aが3だと大きくなります。うまくバランスが取れて動かないところを探すとa=eになります。


正弦波も、「何度微分しても形が変わらない」ものです (微分するたびに形が1/4周期づつずれますが)。


この「何度微分しても変わらない」っていうのが実はすんごく本質的な性質で、その性質でもって指数と三角関数がつながっているんではないか、と、大雑把にはそのように理解しています。


数式操作を使わずに説明してみようとすると私の力ではこのへんが限界かも。


余段ですが、複素関数の世界というのはヴィジュアル的に美しいなあと思います。
"Common Lisp the Language 2nd Edition" という本に、様々な複素関数で複素平面がどのようにマップされるかっていうのをプロットするプログラムが載っています (原書ではp.317から)
入力はこんな図: http://www.cs.cmu.edu/Groups/AI/html/cltl/clm/_24769_figure12561.gif
これを指数関数exp(z) に与えるとこんな図になります: http://www.cs.cmu.edu/Groups/AI/html/cltl/clm/_24769_figure12578.gif
これが sin(z): http://www.cs.cmu.edu/Groups/AI/html/cltl/clm/_24769_figure12645.gif
こんなのを見ていると、普段見慣れた実関数の世界っていうのは、目くるめく複素関数の世界のほんの影法師にすぎないんじゃないか、って気がしてきます。

私が複素数の掛け算を習ったとき思ったのは、実数の掛け算は長さだけだったけど、複素数の場合は掛け算すると「回転」が加わりますよね。複素数の掛け算をすると、元の角度を足した角度になる。あれが指数と似ていると思いました。r(θ)が単位円の角度θを表すベクトルだとして、a・r(α)×b・r(β)＝ab・r(α+β) r(α)×r(β)＝r(α+β) 掛け算が足し算になるので、この性質から関数を求めると指数関数になるのかなと思いました。

私が、この公式（オイラーの公式）についてのコメントで思い出を書きかけたのですが、（質問者及びコメントを寄せている方に比べ）表現が余りに稚拙なので、消去しました。
質問者の添付の図やLog of ROYGYさんのトラックバックでほぼ言い尽くされている感じです。a^(iΠ）で{a}が{e}出なくてもに任意の数で－１になる事は消したコメントで書きましたが、ただ(a≠0)は必須条件です。

どんな数でもi乗すると単位円上の回転になるのは不思議ですね。円運動を連想しました。単位円上の点に実数をかけると中心と点を結ぶ線上を移動し、虚数をかけると中心と点を結ぶ線に直角に動こうとするのでしょうか。

関数exp(a*x)について、「ｘで微分した値が関数自体の値のa倍になる」ものと定義してみます。aが正の実数ならどんどん大きくなって微分も大きくなって発散
aが負の実数なら減っていき微分も減っていきそのうち０に収束。
これがaがiの場合、i倍すると関数の値を複素平面で９０度回転したのが微分ということになり、常に原点と結ぶ線に垂直に動いていくことになり円運動になりますね

こちらの記事がすばらしいです
http://d.hatena.ne.jp/rikunora/20090607/p1

終了後、こんなふざけたコメントをつける事を怒らないで笑ってください。
（質問時間内は及ばず、今もすべきではないかなぁと言う気持ちは有ります）

[上式の数学的証明ではなく
「全くバラバラの分野で扱われ、何の関係性も持ち得ないと思われていた3つの数が、実際には結び付けられるどころか、非常にシンプルな解を導き出す」理由を教えて下さい。]

私の思う所（思い付き）は「大数学者オイラー」の「宇宙的ジョーク」と感じました。

【e】は「自然対数の底」と言う名がありますが、コテコテの人造数値だと思います。
積分しても微分しても変化しない数値を（ネピアだと思うけど）発見か発明した。
それにより、微積分や幾何学が理解し易くなり飛躍的に発展をした。
{0｝は加法の単位元、{１}は乗法の単位元、{e｝は微積分の単位元？

【Π】は円周率ですが、これは「神」人間に与えた「演習（円周？）問題」だと思います。
だから、未だにコンピュータの性能テストに使われたり、何億桁も計算している人もいる。

【i】はー１の平方根、－１と言うと「裏・陰・嘘」と言うイメージも考えられる。陰の平方根ならば「陽炎」や幽霊かな？、でもiだから「愛」ですね。

【0】は無、「霊」つまり「たましい」
【1】は「人」

【数学が示す宇宙的心理？？】
コテコテの人造数値=【e】を（神が作った数値=【Π】【i】＝愛、情＝【乗】して）
と【人＝1】が関わると霊＝【0】になる。

＊日本語的解釈が多いところはお許し下さい。