大数の法則と独立試行は矛盾します！

http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/kakuritu/kakuritu/hen...

より、参照

独立：いくつかの試行があるとする。各々の試行の結果は他の試行の結果に影響を及ぼさないとする。このような試行は独立であるという。

独立試行：お互いに独立な試行を同時あるいは連続というようにひとまとまりとして行うこと。

ここで、質問者様のロボットでいうと、試行を停止するということがあります。

これは、他の試行の結果に影響を及ぼすことになるので

この実験は「独立試行では無い」ということになり

質問者様の意思とは関係なく、矛盾は発生しません。

　確実に停止します。

　独立試行の適用条件を満たしていませんので、独立試行じゃないのでは？

　というのは、ｎ回目の結果で、(ｎ+1)回目、振れるかどうか決まってしまうので、思いっきり、影響を与えていて各試行同士が独立していません。

　一般に、取った玉を戻さない試行のような不可逆なものには、独立試行は適用できません。(^_^;

ロボットを動かす時間をt秒とするとロボットが停止しない確率p(t)は p(t)=(1/2)^(t/10)

これは0にはならないが、tを増やせば0に限りなく近づいていきます。

大数の法則で言えば、「tを大きくすると止まる確率は限りなく０に近づく」と言えます。

中心極限定理

X が平均 μ，標準偏差 σ のある分布に従うならば，大きさ n の無作為標本に基づく標本平均X は，n が無限に大きくなるとき，平均μ，標準偏差 σ/√nの正規分布に近づく。

コインをｎ回投げる、というのを「ｎ個のサンプルを取り出した」と考えると

ｎが大きくなるほど、標準偏差が小さくなるため、ｎ個のサンプルの平均の分布は収束していくわけですね。

矛盾はしないと思います。質問者は「一面的」な見方しかしてないような気がします。「YES or NO」的な考え方ですね。

個々の問題への当てはめは「ケースbyケース」という事も有りますよ。

　停止すると思います。

　せっかくの思考実験なのでもっと贅沢に行きましょう。コイントスロボの性能を上げて、1回目のコイントスは0.5秒、2回目のコイントスは0.25秒……、n回目のコイントスは(1/2)^n秒で行うようにします。さらにコイントスロボを大量生産して無限台用意しましょう。

　さて、この無限台のコイントスロボを起動させて1秒後、コイントスをまだ続けているロボはいるでしょうか？

　いないですよね？　そういうわけで、コイントスロボは必ず停止します。

　さて、「独立試行に矛盾」ですが、これは矛盾しないと思います。

　もし、矛盾するとなると、

　1回試行して全てが裏の確率……1/2　←　矛盾しない

　2回試行して全てが裏の確率……1/4　←　矛盾しない

　3回試行して全てが裏の確率……1/8　←　矛盾しない

　

　n回試行して全てが裏の確率……(1/2)^n　←　矛盾しない

　

　∞回試行して全てが裏の確率……0　←　矛盾する！

　ということになりますが、どこかの瞬間で「矛盾しない」から「矛盾する！」に切り替わるのでしょうか？　違いますよね。∞であるときだけですよね。∞とは数字ではなく、ある意味演算方法ですから。

　結局、前提である「試行回数をどんなに大きくしても全て裏となる確率が必ず残る」が間違っているということでしょう。「試行回数をどんなに大きくしても（有限回数ならば）全て裏となる確率が必ず残る」が正しい、ということではないのでしょうか。

　いわゆるマルコフ連鎖でしょ。

　状態ベクトルが、投げる、投げない、確率行列が1/2ずつで、投げないなら投げないですから。

　大数の法則とは全く矛盾しませんけど。

もう少し「大数の法則」と「独立事象」という言葉の定義を理解してください。

現在通用している科学現象や法則で、矛盾している、という指摘をする人はほぼ全てがもとの理解を欠いているため、説明が極めて困難です。理論的な説明であっても理解できないことと矛盾を同列に扱われるとどんな説明も無意味です。

独立事象はある試行に対して他の試行の結果が影響しない事。当然それまで無限回の裏の連続した場合でも次の試行は裏表の確率はそれぞれ1/2です。ですから無限回の裏の連続も確率として０ではない、それはなんら矛盾しませんが、ならばその無限回の試行群を一つの試行Ａと見なした場合に試行Aをまた無限回くり返して初めて大数の法則が適用できるのであって、その場合にその全てが裏である確率はほぼ０です。

そこで、すぐ矛盾という言葉を使いたがる人が居ますが、統計上の０と厳密な０は違う事を理解していますでしょうか。数学においてごく基本的な極限の考え方を理解しているならば、確実、という言葉にもっと慎重になるべきです。ましてや大数の法則というのはある種の経験則というものであって、明確な大数、という数字は存在しません。（10の60乗あたりに無量大数という桁が存在しますがそれとは全くの別物です）普通の人間は有限回の試行しか想像できませんので、確率を勘違いしがちですが、無限にも位が存在し、大数の法則はそれら全ての無限の中で最上位の無限を考慮した場合の法則です。

極端に言います。そのロボットが止まるまでやってください。その回数よりも遥かに大きい試行をして初めて大数の法則云々の議論に入れます。永遠に止まらないのであればそれば試行の回数が少ないだけです。

このロボットは確実にいつかは停止すると言えるでしょうか？

つまり、「停止する確率は１か」と問うているわけですね：確実な何かが言えるのは、その確率が０か１の場合のみですから。

このロボットが疲れを知らず決して故障もしないとして、ある有限時間内、すなわち有限の試行回数（例えばＮ回）の間に停止する確率は、コインの裏の出る確率が終始変わらずＰとするなら、（１－Ｐ＾Ｎ）ですから、任意のＮに対して、ロボットの停止に関して確実に何かが言えるのは、Ｐが０か１の場合のみに限られます。

したがって、Ｐが０でも１でもないなら、確実にいつかは停止するとは言えません。全く同じ理由で、決して停止しないと確実に言う事もできません。

別の言い方をすれば、無限回の試行の後には、Ｐ＜１の場合に必ず止まると言えます。例えば、試行の時間間隔を試行のたびに半分にしてゆけば、有限の時間内に無限回の試行が行われ、有限時間の間に必ず停止すると言えます。同様に、Ｐ＝１の場合には停止しないと言う事もできます。

>このロボットは確実にいつかは停止すると言えるでしょうか？

「停止する」「停止しない」の二項対立にするのがそもそもの間違いです。

これが抜けているからです。

• いつかは停止するとも、いつまでも停止しないとも言い切れない

結論を言いますと、これが正解です。(勿論コインは普通に表も裏も出得るという前提、以下同様)

質問者さんの例を樹形図っぽく表すと(あくまで「っぽく」です)、こうなります。

表が出たら「停止」に向かい、裏が出たら右に真っすぐ進みます。実際には右に延々と続くのを省略していますが、「停止しない」と言うのはまさにこの樹形図が「右に延々と続く」という事です。

独立試行に従えば、一回一回で裏となる確率があるのと同様、表となる確率もあります。「全て裏となる確率」云々は、むしろ大数の法則の範疇です。

まぁ実際には、コインの表がいつかは出てロボットは停止するでしょう。でもそれは、ロボット停止そのものにしろそのタイミングにしろ結果論です。

確かに「いつかは表が出る」と言う事を計算で導く事は出来ます。しかしその計算は、「無限回コインを投げる」という有り得ないシチュエーションを想定してのものです。

有り得ないシチュエーションと実際の結果論の積み重ねが一致する事こそが、大数の法則の妙なのです。

停止しない確率は裏が出続ける確率ですから

(1/2)*(1/2)*(1/2)*(1/2)*(1/2)*(1/2)*…＝1/2*n

となります。（ｎは試行回数）・・・①

特に時間制限はないので、無限回試行できます。

nを無限大にすると①は０に収束するので、いつか必ず停止します。

具体的な話をすると、ロボットが止まった時点で「停止した」と言えるのに対し、

動いている時点では「今はまだ動いている」としか言えないため、

ｎ回目の試行の段階で動いていたとしても「停止しない」とは言い切れません。

これはｎにどんな大きな数を入れても成り立つため、独立試行とは矛盾しません。

＞このロボットは確実にいつかは停止すると言えるでしょうか？

独立事象ですので、投げる度に、常に1/2の確率で停止します。当然100回投げた後で1億回投げた後でも1/2のまま変わりません。

.

＞(大数の法則によって表と裏のバランスがとられ、いつかは表が出る)

バランスが取られるわけではなく、あとから振り返ってみて、結果的に1/2になっているだけですので、場合によっては、何億回繰り返していても、酷い偏りのある状態（常に裏）という可能性も確率上はほぼ0ですがもあり得ます。その場合、何億の何億乗、それでも無理なら更に何億乗と繰り返すことで、結果的には大数の法則に従うと予見しているだけです。あくまで結果的にそうなっていると言うだけです。連続して表が出ることもあり得ない確率ではありますが、決して0にはなりませんので理論上永遠に動き続けることはあります。

.

感覚的には、たまたま隕石が目の前のパソコンの画面に直撃するくらいの殆どあり得ない確率ですので、矛盾ではなく、何か不正がないのかと疑う必要はあると思います。

ただし、こういったレアな可能性も決して0ではありませんので（ロボットが動き続ける事も）あり得ます。

.

確率論の見方はだいたい出ているので、屁理屈での答案を。

> 「停止する」とすると：独立試行に矛盾

> (試行回数をどんなに大きくしても全て裏となる確率が必ず残る)

Xが独立試行であるならば、Xは停止しない、という命題を仮定しているのですね。

P: Xは独立試行である

Q: Xは停止しない

なので、PならばQ、はPが偽の時にはQが何であれ充足しますよね。

したがって、Qは停止しても矛盾しません。

自分も多くの方が書かれているように、停止すると思います。

3の方への反論に、

これに対するコメントですが、私が知りたいのは「ほぼ」停止するとかいうあいまいなことではなくて

「確実に」停止するとしていいかどうかです。

と書かれていますが、

時間が無限にたったとき、ほぼ停止する(停止する確率が1に限りなく近づく)、ということですよね。

この場合は、

ほぼ停止する＝停止する

と考えていいと思います。

例えば、

0.3333… = 1

ですが、両辺3倍すると

0.9999… = 1

となります。

この場合の左辺は、1に限りなく近づくので、このような場合に限り、

ほぼ1 = 1

ということがいえるのではないかということです。

今回も、限りなく停止する確率が1に近づくので、「停止する」と思います。

「独立試行」「大数の法則」を確率論で使われている普通の意味で解釈するかぎり、「試行回数をどんなに大きくしても全て裏となる確率が必ず残る」ということは「独立試行」とは関係ないですし、「大数の法則」から「表と裏のバランスがとられ、いつかは表が出る」なんてことが導かれることもありません。

したがって質問をそのまま読む限りは「用語を正しく理解していないので論証が成り立っていません」が答えになります。

勝手な推測になってしまいますが、質問者さんが本当に疑問に思っていることは、大数の法則の問題ではなく、次のどちらかに関係する問題ではないでしょうか。

• 任意有限回コインを投げても停止しない可能性が残っている(確率≠0)ことと、どこかで停止する確率が1(停止しない確率=0)であることの対立
• 無限に裏が続く場合が存在する(=停止する可能性がある)ことと、無限に裏が続くという事象の確率は0(=停止する可能性はない)の対立