gmailでＡとＢの２つのアドレスを使用していたとします。

メインにログインするのはＡで、Ｂはビジネス用のアカウントだとします。
このとき、それぞれへログインするのが面倒のため、ＢへのメールをすべてＡに転送し、同時にＡから、「Ｂのメールアドレス」を送信者名（アカウント設定で）として、返信をしたりしていたとします。
このメールは、送信者として「Ｂ」になっているわけですが、ヘッダを見ると、ＡのアドレスがSenderなどの情報にハッキリ記載されています。
これを隠す方法というのはないでしょうか？
ざっくり言いますと、ＢでのやりとりをＡのアカウントだけで行いたいのですが、Ａのメールアドレスを、Ｂでやりとりしている人たちに知られたくないのです。
「送信者アドレス」などの設定も試したのですが、正直、ヘッダには関係ないようで…。
この方法など、どうかお教え頂ければ幸いです。