という問題について、頭を悩ませております。。。
ウェブ上にヒントはないかと探してみたのですが、
同じような質問↓
http://whs-math.net/math/sec2341.html
はあったものの、証明の内容については詳しく触れていないようでして。
証明の方法をどうしても知りたい次第です。
よろしくお願いします<m(__)m>
ベクトルを使った以下の証明はいかがでしょうか。
外心Pを中心とする座標系を考え、
各点A,B,C, ... の位置ベクトルを a,b,c, ... とします。
すると垂心Qについて、
q = a + b + c が成立します。(証明は後述) ----- ①
一方、点Oは長方形DFIJの中心であるので(証明は後述)、 ----- ②
o = (d + f + i + j) / 4 = ((a+b)/2 + (b+q)/2 + (c+q)/2 + (c+a)/2) / 4 = (a/2 + b/2 + b/2 + q/2 + c/2 + q/2 + c/2 + a/2) / 4 = (a + b + c + q) / 4 = (a + b + c + a + b + c) / 4 = (a + b + c) / 2
よって点Oは線分PQの中点となります。
上記の方針で証明が可能ですが、
解答用紙には①と②の証明をしておく必要があるかと思います。
①の証明 三角形ABCのA、B、Cから下ろした垂線が1点で交わることは自明で、 その点をXとおき、原点を外心とする位置ベクトルをxとします。 今、2つのベクトルa、bの内積を(a, b)で表すとして、 (a - x, b - c) = 0 ----- (a) (b - x, c - a) = 0 ----- (b) (c - x, a - b) = 0 ----- (c) を満たすので、x = a + b + c とおけば (a)式の左辺は (a - (a + b + c), b - c) = (-b - c, b - c) = -(b + c, b - c) となり、b + c が表す点をDとすれば、 この値は -(b + c, b - c) = -(ベクトルOD, ベクトルCB) を意味し、|b| = |c| より四角形OBDCは菱形になるので ODとCBは垂直で、よって内積の値は0となり、 (a)式を示すことができます。 同様に (b)(c) も満たすことができます。 よって上記3式(a)(b)(c)を満たすことができ、 垂心は a + b + c と表せることが示せました。
②の証明 ⊿BDFと⊿BAQは相似で、相似比は 1:2 です。 ⊿CJIと⊿CAQは相似で、相似比は 1:2 です。 よって DF と JI は長さが等しく、平行です。 ⊿QFIと⊿QBCは相似で、相似比は 1:2 です。 ⊿ADJと⊿ABCは相似で、相似比は 1:2 です。 よって DJ と FI は長さが等しく、平行です。 今、AG と BC は垂直なので、 DF が AG と平行であることより、 DF と BC は垂直です。 また、FI と BC は並行なので、 よって DF と FI は垂直になります。 よって四角形 DFIJ は長方形となります。 点Oは円の中心であり、円は長方形DFIJを通るので、 O = (d + f + i + j) / 4 となります。
ベクトルを使った以下の証明はいかがでしょうか。
外心Pを中心とする座標系を考え、
各点A,B,C, ... の位置ベクトルを a,b,c, ... とします。
すると垂心Qについて、
q = a + b + c が成立します。(証明は後述) ----- ①
一方、点Oは長方形DFIJの中心であるので(証明は後述)、 ----- ②
o = (d + f + i + j) / 4 = ((a+b)/2 + (b+q)/2 + (c+q)/2 + (c+a)/2) / 4 = (a/2 + b/2 + b/2 + q/2 + c/2 + q/2 + c/2 + a/2) / 4 = (a + b + c + q) / 4 = (a + b + c + a + b + c) / 4 = (a + b + c) / 2
よって点Oは線分PQの中点となります。
上記の方針で証明が可能ですが、
解答用紙には①と②の証明をしておく必要があるかと思います。
①の証明 三角形ABCのA、B、Cから下ろした垂線が1点で交わることは自明で、 その点をXとおき、原点を外心とする位置ベクトルをxとします。 今、2つのベクトルa、bの内積を(a, b)で表すとして、 (a - x, b - c) = 0 ----- (a) (b - x, c - a) = 0 ----- (b) (c - x, a - b) = 0 ----- (c) を満たすので、x = a + b + c とおけば (a)式の左辺は (a - (a + b + c), b - c) = (-b - c, b - c) = -(b + c, b - c) となり、b + c が表す点をDとすれば、 この値は -(b + c, b - c) = -(ベクトルOD, ベクトルCB) を意味し、|b| = |c| より四角形OBDCは菱形になるので ODとCBは垂直で、よって内積の値は0となり、 (a)式を示すことができます。 同様に (b)(c) も満たすことができます。 よって上記3式(a)(b)(c)を満たすことができ、 垂心は a + b + c と表せることが示せました。
②の証明 ⊿BDFと⊿BAQは相似で、相似比は 1:2 です。 ⊿CJIと⊿CAQは相似で、相似比は 1:2 です。 よって DF と JI は長さが等しく、平行です。 ⊿QFIと⊿QBCは相似で、相似比は 1:2 です。 ⊿ADJと⊿ABCは相似で、相似比は 1:2 です。 よって DJ と FI は長さが等しく、平行です。 今、AG と BC は垂直なので、 DF が AG と平行であることより、 DF と BC は垂直です。 また、FI と BC は並行なので、 よって DF と FI は垂直になります。 よって四角形 DFIJ は長方形となります。 点Oは円の中心であり、円は長方形DFIJを通るので、 O = (d + f + i + j) / 4 となります。
すいません、数ⅡBをほとんどやっていなかったせいで、丁寧に回答いただいたいのですが、疑問を抱いていしまいまして・・・でも、ベクトル使えれば便利そうですよね(^_^;)
私は、pheroさんの、
・・・
2つのベクトルa、bの内積を(a, b)で表すとして、
(a - x, b - c) = 0 ----- (a)
(b - x, c - a) = 0 ----- (b)
(c - x, a - b) = 0 ----- (c)
を満たすので、・・・
という箇所で、「えっ?」と、思考が止まってしまいました(ToT)
そもそも、"内積"について漠然としたイメージしかなかったので、調べたところ、
「内積=平行の度合い」
http://gmr.blog.shinobi.jp/Entry/723/
や、
「内積=力の大きさと進む距離の積」
http://whs-math.net/math/sec193.html
というものだそうで。
ただ、内積以前に、提示してくださった、
(a - x, b - c) = 0 ----- (a)
(b - x, c - a) = 0 ----- (b)
(c - x, a - b) = 0 ----- (c)
この3つの式の意味について、もしよろしければ私の解釈が正しいかどうか、再度ご回答いただけないでしょうか?
ベクトルの本片手に、私なりに解釈したところ、
(a)
ベクトルa(点P→A)のx成分から、ベクトルx(点P→Q)のx成分を引き、ベクトルb(点P→B)のy成分から、ベクトルc(点P→C)のy成分を引くと、結局、原点Pに向かうベクトル(零ベクトル?)となる。
(b)
ベクトルb(点P→B)のx成分から、ベクトルx(点P→Q)のx成分を引き、ベクトルc(点P→C)のy成分から、ベクトルa(点P→A)のy成分を引くと、零ベクトルとなる。
(c)
ベクトルC(点P→B)のx成分から、ベクトルx(点P→Q)のx成分を引き、ベクトルa(点P→A)のy成分から、ベクトルb(点P→B)のy成分を引くと、零ベクトルとなる。
※さんの解答によると、「X=点Q」ですよね!?
だという風に、「,(コンマ)」は"x成分とy成分を分ける仕切り"だと解釈してみたのですが・・・いまいちベクトルの動きをイメージできないので、間違ってるような気もしまして・・・
よろしくお願いします(>_<)
三角形LGHにおいて、∠LGH=90°より、点Oは直径LHの中点であるから、
OL=OH・・・①
点Pは、△ABCの外心だから、(下記URLの外心の図参照)
PH⊥BCより、LG//PH・・・②
よって、
∠OLQ=∠OHP・・・③
直線BPと△ABCの外接円との交点をSとすると、BSが直径であるから、∠SCB=90°
また、PS=PB・・・④
点Pが、外心だから、PH⊥BCより、∠PHB=90°となり、SC//PH・・・⑤
点HはBCの中点だから、BH=HC・・・⑥
④⑤⑥から、中点連結定理より、
SC=2PH・・・⑥
一方、ALQGは一直線だから、②⑤から、
SC//LG//AQ・・・⑦
△ABSについて、BSは直径になっているから、∠SAB=90°より、
AS⊥AB・・・⑧
点Qは垂心だから、QC⊥AB・・・⑨
⑧⑨から、
QC//AS・・・⑩
⑦⑩から、四角形AQCSは平行四辺形だから、AQ=SC・・・⑪
⑥⑪から、
AQ=2PH・・・⑫
点LはAQの中点だから、
AQ=2QL・・・⑬
⑫⑬から、
PH=QL・・・⑭
よって、①③⑭から、二辺夾角相等で、△LOQ≡△HOP
したがって、OQ=OPで、
また、∠QOL=∠POHで対頂角が等しく、もともと、L、O、Hは直径上にあり一直線上にあるから、
点Q、O、Pは一直線上にあって、点Oは、PQの中点である。
※参考図
http://f.hatena.ne.jp/rsc96074/20100117060018
●外心
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2#.E5.A4....
●中点連結定理
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%AD%E7%82%B9%E9%80%A3%E7%B5%9...
※参考URL
●九点円の話
>Euler線はその十六参照.△ABCの外心O,重心G,垂心Hを通る直線だ.この直線の上に九点円の中心Xが乗っかっているというのだ.しかも外心と垂心の中点だなんて.
http://www.highflyer2.com/math/nine.html
●九点円
rsc96074さん、図までお描きいただき、ありがとうございます!
「PH⊥BCより、~」というところで、「!?」と、疑問に思ってしまいましたが、記載いただいたリンク先を拝見したところ、「外心は、三角形の3辺の垂直二等分線の交点」であることを思い出すことができ、理解できました(^_^;)
九点円でググるとすぐ出てきますね.
九点円 http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/circle/circle.htm
美しい公式 http://web2.incl.ne.jp/yaoki/anssiki9.htm
9点円の定理 http://homepage2.nifty.com/sintakenoko/Cabri/C9ten-en.html
1つ目の複素数の解法が分かりやすい.>OG:GN:NH=2:1:3
は質問者の図では
PG:GO:OH=2:1:3
で,つまり
PO:OH=3:3=1:1
となり確かに二等分する.
「9点が同一円周中にあることの証明」を、見過ごしてました!
かなり大事ですよね・・・ありがとうございます(^_^;)
一番最初に記載いただいた複素数の解法は、非常に興味深いのですが、数学Bをしっかりやらなかったせいでしょうか、ザっと読んだだけではなかなか頭に入ってきませんでして・・・一度、複素数について復習してから、再度この解法について取り組みたいと思います!
すいません、数ⅡBをほとんどやっていなかったせいで、丁寧に回答いただいたいのですが、疑問を抱いていしまいまして・・・でも、ベクトル使えれば便利そうですよね(^_^;)
私は、pheroさんの、
・・・
2つのベクトルa、bの内積を(a, b)で表すとして、
(a - x, b - c) = 0 ----- (a)
(b - x, c - a) = 0 ----- (b)
(c - x, a - b) = 0 ----- (c)
を満たすので、・・・
という箇所で、「えっ?」と、思考が止まってしまいました(ToT)
そもそも、"内積"について漠然としたイメージしかなかったので、調べたところ、
「内積=平行の度合い」
http://gmr.blog.shinobi.jp/Entry/723/
や、
「内積=力の大きさと進む距離の積」
http://whs-math.net/math/sec193.html
というものだそうで。
ただ、内積以前に、提示してくださった、
(a - x, b - c) = 0 ----- (a)
(b - x, c - a) = 0 ----- (b)
(c - x, a - b) = 0 ----- (c)
この3つの式の意味について、もしよろしければ私の解釈が正しいかどうか、再度ご回答いただけないでしょうか?
ベクトルの本片手に、私なりに解釈したところ、
(a)
ベクトルa(点P→A)のx成分から、ベクトルx(点P→Q)のx成分を引き、ベクトルb(点P→B)のy成分から、ベクトルc(点P→C)のy成分を引くと、結局、原点Pに向かうベクトル(零ベクトル?)となる。
(b)
ベクトルb(点P→B)のx成分から、ベクトルx(点P→Q)のx成分を引き、ベクトルc(点P→C)のy成分から、ベクトルa(点P→A)のy成分を引くと、零ベクトルとなる。
(c)
ベクトルC(点P→B)のx成分から、ベクトルx(点P→Q)のx成分を引き、ベクトルa(点P→A)のy成分から、ベクトルb(点P→B)のy成分を引くと、零ベクトルとなる。
※さんの解答によると、「X=点Q」ですよね!?
だという風に、「,(コンマ)」は"x成分とy成分を分ける仕切り"だと解釈してみたのですが・・・いまいちベクトルの動きをイメージできないので、間違ってるような気もしまして・・・
よろしくお願いします(>_<)