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民間企業では健康保険ですが、公務員（および独法職員）の場合は共済組合になります。
この共済組合員証がまだ紙でできています。
http://www.jinjika.jim.titech.ac.jp/fuk/kenpo/kyosai/index.html
上記URLの画像は文科省ですが、経産省も同じように緑色の紙でできていて、三つ折りになっています。
「健康保険証」じゃなくてごめんなさい。でも一般に「保険証」というとこれも含まれるので、回答してみました。
No.7
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健康保険証の個人カード化は，平成13年に健康保険法施行規則などで定められ，一部では導入が進められています。しかし，同施行規則などでは旧来形式の保険証交付も認められているため，旧来型の世帯単位の保険証，つまり，基本的に未だ「紙」型のものが多く交付されているようです。また，カード化されていたとしても「紙のカード」であるものも存在するようです。
少し前の資料になりますが，平成18年2月16日に開催された第21回政府管掌健康保険事業運営懇談会（於：厚生労働省）の資料「資格確認に係るシステム等のあり方の検討について」3ページに，次のようなまとめが掲載されています。
保険証の個人カード化の状況
- 健康保険法施行規則及び国民健康保険法施行規則の改正（平成13年2月14日公布 平成13年4月1日施行）
- 政府管掌健康保険 平成15年10月から移行
- 健康保険組合 396組合（平成17年7月1日現在 全組合1,567中25.3％）
- 市町村国保 587市区町村（平成16年6月1日現在 全3,110市区町村中18.9％）
なお，平成18年10月16日付けであるようですが，次のような記事をみつけましたので，ご参考まで。
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コメント（1件)
↑こういうのを求めているのですよね？
東京在住で国保ですが
形がカード型になっていても材質は「紙」だったりするんですけど。