人力検索はてな >
学習・教育 >
z=x+iyに対し、f(z)=u(x,y)+iv(x,y)である正則関数を考えます。 u(x,y)=x^2…

9

9もっと見る

80pt

学習・教育科学・統計資料

z=x+iyに対し、f(z)=u(x,y)+iv(x,y)である正則関数を考えます。

u(x,y)=x^2 - y^2 + 2x +1であり、f(-1)=0　です。
このとき、v(x,y)はどうなるでしょうか？
また、f(z)をzで微分するとどうなるでしょうか？

コーシーリーマンの方程式を利用して解こうとしているのですが、v(x,y)の式の積分定数の値を定めることが出来ず困っています。

回答の条件

1人2回まで

登録：2008/09/17 03:40:05
終了：2008/09/24 03:45:02

※ 有料アンケート・ポイント付き質問機能は2023年2月28日に終了しました。

No.1

ita204482008/09/17 12:11:24

27pt

コーシー＝リーマンは

Vx =-Uy=-2y
Vy =Ux = 2(x+1)

ですね。dV = (Vx,Vy)・(dx,dy)をどんな経路でもいいから(-1,0)から(X,Y)まで積分すればいいです。計算が簡単になる経路を選べばいいです。たとえば(-1,0)→(X,0)→(X,Y)

はじめの区間はx方向に進むから $\int_{-1}^X Vx(x,0) dx$ だけどVx(x,0)=0なんで0。

次は $\int_0^Y Vy(X,y) dy = \int_0^Y 2(X+1) dy = 2Y(X+1)$

なのでV(x,y)=2y(x+1)。実際これでコーシーリーマン成立します。

No.2

yo-kun220302008/09/17 16:06:49

27pt

$u_x=2x+2$

$u_y=-2y$

ですからコーシーリーマンの方程式より

$v_x=2y$

$v_y=2x+2$

であることがわかります。

$v_x=2y$ ですから $v(x,y)=\int v_x dx=2xy+C(y)$ です。

これを再びｙで偏微分すると

$v_y=2x+C'(y)$

コーシーリーマンの方程式より $v_y=2x+2$ でしたから、結局 $C'(y)=2$ つまり $C(y)=2y+C$ です。

これで $v(x,y)=2xy+2y+C$ とわかりました。

さて、 $f(-1)=0$ ですから $v(-1,0)=0$ で $C=0$ と積分定数が定まり

$v(x,y)=2xy+2y$ となります。

なお、正則関数の微分は

$f'(z)=u_x+iv_x$

です。(一般的にzで表せる式にはなるとは限りません)

No.3

yo-kun220302008/09/17 22:47:27

26pt

終了ではないということは微分結果まで…ということでしょうか。

(違っていたらすみません)

$f(z)=(x^2 - y^2 + 2x +1)+i(2xy+2y)=(x^2 +2ixy +y^2)+2(x+iy)+1=(x+iy)^2+2(x+iy)+1=z^2+2z+1=(z+1)^2$

なので

$f'(z)=2(z+1)$

もしくは、正則関数の微分は $f'(z)=u_x+iv_x$ なので

$f'(z)=(2x+2)+2iy=2(x+iy)+2=2z+2$

です。

ita 2008/09/24 18:02:08

質問者、放置プレイwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
分かったとか分からないとか書いてくんないとショボーン。

ちなみにUからコーシーリーマンで出したVx,Vyをベクトル場と見なし、
これが rot (Vx,Vy)=0 で積分が積分経路によらないためには △U=0 という条件が必要です。実際問題の例ではそうなっています。

　　　 - twitters for the day 　　　 2008-09-18 03:37:39

15:36 トイレを我慢してはならない。作業中であれ娯楽中であれ、我慢して続けてしまいたくなるが、作業にしろ娯楽からの快楽の享受にしろ効率が下がってしまうのでまず生理的欲求を満

「あの人に答えてほしい」「この質問はあの人が答えられそう」というときに、回答リクエストを送ってみてましょう。

これ以上回答リクエストを送信することはできません。制限について

リクエスト送信済

回答リクエストを送信したユーザーはいません

ウォッチリスト

知りたいことを検索してみよう