【大学数学解いて150pt・16日14時まで】【PAGE2】大学の理工学部の問題を解いてもらいたいです。

※行列の書き方

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

=[(a11 a12 a13)(a21 a22 a23)(a31 a32 a33)]

(1)

AB=[(a11α a12β a13γ)(a21α a22β a23γ)(a31α a32β a33γ)]

BA=[(a11α a12α a13α)(a21β a22β a23β)(a31γ a32γ a33γ)]

AC=[(a12 a11 a13)(a22 a21 a23)(a32 a31 a33)]

CA=[(a21 a22 a23)(a11 a12 a13)(a31 a32 a33)]

AD=[(a13 a12 a11)(a23 a22 a21)(a33 a32 a31)]

BA=[(a31 a32 a33)(a23 a22 a21)(a11 a12 a13)]

(2)

tA=[(1 3 6)(2 4 7)(3 5 8)]

tB=[(1 5 9)(2 6 10)(3 7 11)(4 8 12)]

(3-1)

t(AB)=t[(25 17 -19)(8 13 -10)(9 18 -10)]=[(25 8 9)(17 13 18)(-19 -10 -13)]

tBtA=[(1 6)(5 3)(-3 -4)][(1 2 3)(4 1 1)]=[(25 8 9)(17 13 18)(-19 -10 -13)]

(3-2)

t(AB)=C, tBtA=Dとする。

C(i,j)=AB(j,i)=A(j,1)B(1,i)+・・・+A(j,n)B(n,i)

D(i,j)=B(1,i)A(j,1)+・・・+B(n,i)A(j,n)　※ tB(i,1), ・・・ tB(i,n) → B(1,i), ・・・，B(n,i)だから。

よってC(i,j)=D(i,j)

ゆえにt(AB)=tBtA

(4)

A+tB=[(-2 5)(3 -1)(1 4)]+[(3 6)(2 4)(-1 2)]=[(1 11)(5 3)(0 6)]

3tA-2B=3[(-2 3 1)(5 -1 4)]-2[(3 2 -1)(0 4 2)]=[(-12 5 5)(9 -11 8)]

(5)

[(-2 11 -8)(0 -3 10)(0 0 8)]

(6)

AB=Cとする。

C(i,j|n≧i>j≧1)=

A(i,1)B(1,j)+・・・+A(i,j)B(j,j) ← 区間①

＋ ・・・ ← 区間②

＋ A(i,i)B(i,j)+・・・+A(i,n)B(n,j) ←区間③

であり,このとき,A,Bが上三角行列であることから,

区間①→A(・,・)=0

区間②→A(・,・)=0, B(・,・)=0

区間③→B(・,・)=0

ゆえに

C(i,j|n≧i>j≧1)=0

すなわち，ABは上三角行列である。