4次元超球から7次元超球の｛体積＝Ｖ｝と｛表面積＝Ｓ｝を考えてください。（体積と表面積と言う言い方は既に意味を成さなくなっていますが、例えば4次元超球ならば｛Ｖ｝｛Ｓ｝はそれぞれ長さの4乗、3乗のディメンションを持っています）・・・あくまで、遊びの範囲の問題ですので、専門家、セミプロの方は回答をご遠慮ください。また、専門家の解説のＵＲＬの参照の貼り付けもお断りします。回答者自身の考え・言葉でお願いいたします。

難しく考えないでください、法則さえ分れば中学生でも分ります。
要するに、点＞線＞円＞球＞の延長です。
マニアはＯＫです。
「専門家の解説のＵＲＬの参照の貼り付けもお断りします。」とは、そう言う人のＵＲＬの貼り付けだけではダメという事で、回答者自身で解釈したの考え・言葉を付けてください・・・と言う事です。

間違っててもいいですから、回答してください。頭の体操のようなものですから。

4次元の球（？）がどういうものかわからないので考えるきっかけもよくわからないのです。
なので簡単そうな四角でやるとどうなるか考えてみようと思います。
一辺の長さがr(m)の正方形は
面積：r^2(m^2) １周の長さ：4r(m)
1辺の長さがr(m)の立方体は
体積：r^3(m^3) 表面積:6r^2 辺の長さの合計:12r(m)
ということになるのでじゃあもう一次元増えるとどうなるのか（超立方体というやつですか？）
立方体を使って展開図を作ってそれを折りたためばいいんですよね？
・・・どんな展開図？
ここまでの法則から体積（？）はr^4(m^4)になるとは思うけれども
ほかのがわからないな。
ググって値は分かったけど何であの形になるんだ？
あの展開図でどうして「折りたためる」とわかるんだ？
そもそもこの折りたためるってどういう状態なんだろう。
立方体の展開図なら要は各辺が異なる辺に接するようになっているということですよね。
もしかして次元が上がって各立方体が異なる立方体に接するようになっているのか？
四角形で駄目なんで円は無理そうですね。
賢い人の回答が楽しみです。
４次元空間を実感したい！！！

a2giさん、ありがとうございます。
１・終了時にポイントを送りたいと思いますので、ダミー（内容の無い回答）で結構ですから回答欄に回答をお願いします。
２．超球という概念は分りにくいかもしれません。比較的分りやすいかなぁと思うＵＲＬを下に紹介します。
http://www.geocities.co.jp/SiliconValley-SanJose/4020/4D/hpsphere.html
http://www4.airnet.ne.jp/tmt/mathfaq/spsphere.pdf#search='超球'
要するに円を直線で切ると長さの直線（または離れた２点）に、球の平面できると断面はいろいろな半径の円板（または円）になります。
それと同じく超球をゆがみの無い３次元空間での断面はいろいろな半径の球（または球面）が出来るということです、これはどんどんと高次元に拡張しても
同じ事がいえます。・・・４次元以上はイメージを鋭くする必要がありますが。


直線＞正方形＞立方体＞　の系列では点、線、辺（＝直線）、面（平面・正方形）の判別が出来ます。これは高次元になっても同じです。
４次元超立方体のイメージはhttp://www.madlabo.com/mad2/watanabe/05_4drec_pr.pdfを参照ください。
我々は立体でも平面に書くときは押しつぶした、あるいは透視した図を使います。（それを2次元に投影すると言います）
それと同じく４次元超立方体を３次元に投影した図形を作成できます。
1次元の直線は当然2次元平面に描く事は出来ます。正方形も当然2次元平面に描く事は出来ます。問題は立方体を平面に描くときですが、上のＵＲＬの様の外形を6角形にして、向うの辺をその中に透かして描く事も出来ますが、面をゴムと考え一面を思い切り広げて、片側から見ると他の五面がその一面と重なった様に
描く事も出来ます。頂点、辺、面の数は変わりません。つまり位相的に等しければ、角度や長さを無視するのです。面と面の接し方、辺のつながり方などは変わりません。それを4次元にも応用するのです。「もしかして次元が上がって各立方体が異なる立方体に接するようになっているのか？」と有りましたが、その通りです。
私が作成した4次元立方体の模型の作り方は、1辺1の立方体を1つ上面1の正方形、下面３の正方形、側面（下辺３、上辺1）を結んで高さ
1になる角錐台を6つ、それを1辺３の立方体を1つに押し込む・・・出来上がり。4次元立方体の3次元への投影。2つの面が重なる事になりますが1面、三つの辺の重なりは1本、4つの立体の頂点の重なりは1点と数えます。これらは立方体、正方形を要素に分けた時の要素の数え方と同じです。
正方形＞立方体　系列の要素数は以下の通りです。
　　　　　　要素の数　
次元　　　　０次元（点）1次元（直線）　2次元（正方形）　3次元（立方体）　4次元　5次元　6次元
0　　　　　　１
1 2 1
2 4 4 1
3 8 12 6 1
4 16 32 24 8 1
5 32

失礼しました、キー操作をあやまり、途中でコメント登録されてしまいました。

正方形＞立方体　系列の要素数は以下の通りです。
　　　　　　要素の数（Ｋ）　
次元（n)　(m)０次元（点）　1次元（直線）　　2次元（正方形）　3次元（立方体）　4次元　　　　5次元　　　　6次元　7次元
0　　　　　　１=1*1　
1 　　　　　2＝1＊2 　　1＝1＊1
2 　　　　　4＝1＊4　　 4＝2＊2 　　　　　1＝1＊1
3　　　　　 8＝1＊8 　　12＝3＊4 　　　　6＝3＊2　　　　　1＝1＊1
4 　　　　16＝１＊16 　32＝4＊8 　　　　24＝6＊4 　　　　8＝4＊2 　　　　1＝4＊1
5 　　　　32＝1＊32　　80＝5＊16　　　　80＝10＊8　　　　40＝10＊4　　　10＝5＊2　　　1＝1＊1
6　　　　　64＝1＊64　192＝6＊32　　　240＝15＊16　　　160＝20＊8　　120＝15＊8　　24＝6＊4　　1＝１＊1
7　　　　128＝1＊128　448＝7＊64　　　672＝21＊32　　　560＝35＊16　280＝35＊8　　84＝21＊4　　14＝7＊2　1＝1＊1
　 K=a*b K:要素の個数　a:2項係数　b:2＾(n-m) となります・・・計算的には

http://www.geocities.co.jp/SiliconValley-SanJose/4020/4D/hpsphere.html
これのリンクが実感しやすかったです。
要は時間で変化する立体を一瞬に投影したようなものなんですね。
計算で求めるなら積分してどうにかするんだろうなというのはイメージできます。
円は線の点に対する回転体であり、球は円の線に対する回転体なので、超球は球の立体に対する回転体なのでしょう。
（これがイメージか？）
それはあくまでどういう方針で計算するのかであって
どういう「モノ」なのかというイメージがわかないんですよね。
そもそも超立方体はなぜあの展開図になるのでしょう？
あの展開図があって超立方体があるのか？それとも超立方体があって展開図があるのでしょうか？
（鶏と卵みたいなもんだい？）

a2giさん、すみません。本当は正確に数式を使えば、かなり説明しやすいと思いますが、まだはてなでの数式の書き方に熟知してないものですから、きれいな数式が使えないのです。そこをガマンください。また、２つの話（超球と超立方体）をごちゃ混ぜにすることもお許しください。
○４次元目を時間軸に置き換えるのはイメージ的にも分りやすい方法だと思います。だだ、全ての軸は同等（互いに置き換えられる）と言う事です。
時間断面（時刻）で現れた図形は、空間の一平面での断面と全く同じに見えると言う事です。
超球の問題は、２次元（円）面積や３次元（球）の体積を求めるのに積分が大変有効、と言うより積分なくして、解法は大変難しいと言えますが、４，５，６・・・を求めるのには積分過程の考えは必要ですが、実際に積分を使う必要はないと言う事です。そこがこの問題の面白いところです。
○４次元立方体の表し方はいろいろあります。あの図は、バランスよくきれいにした形だと考えてください、立方体でも見る方向により、２次元に投影したときのイメージが変わるように。もっとも２１日深夜のコメントの様にゴム膜立方体の考え方もありますので。
展開図（おそらく投影図の事と思いますが）が有って、超立方体があるのでなく、超立方体があって展開図が存在するのが普通の考え方だと思います。（模型を作るときはその逆になりますが）立方体を平面に投影するとき面の継ぎ目（辺）が交差しないように描く事は出来ますが、４次元超立方体の辺は交差します、だからややこしく見えるのです。しかし、３次元に投影するときは面も、辺も交差しないように描く（作成）事はできます。（２１日のコメント）
２２日（２１日の続き）で各次元の超立方体の点、辺、面、立方体・・・の数を２項係数と2の累乗で計算出来る式としてｋ＝a*bしましたがこれでは結果から導いた式であって、根拠が分りません。根拠を説明します。（半角数字と全角数字が混在してますが、同じと考えてください）
（０次元）はじめは点が1つ。
（１次元）１点が複写され２点（1＊２）になり、線が１本出来ます。
（２次元）２点と線１本複写され、点が４（＝2＊2）：１線が倍と4点から糸引いて線が4本加わる（1＊1＋1）４本：（2＊2では有りません）、4本の線の間に膜が(４本の線に囲まれた）出来て面が１できる
（３次元）４点と４線と1面が複写され、点が８（4＊2）：4線が倍と4点から糸引いて線が4本加わる（4＊2＋4）で１２本：元と複写された面と4本の線の間に膜＝面が4面加わる（1＊2＋4）で６面：上下の面と4側面に囲まれた空間（立方体）ができる。・・・ここまでは３次元ですから、簡単に理解できるとおもいなす。と言うか、「分りきったことを長々と」と思われるかも知れませんが、これからが4次元に突入します。でも今までの続きです。
（４次元）８点と12線と6面と1立方体が複写され、点が１６（8＊2）：線12本の倍と8点から糸引いて線が8本加わる（12＊2＋8）で３２本：6面が倍と12線から12面が作られる（6＊2＋12）２４面：1立方体の倍と6面から6立方体が加わる（1＊2＋６）８立方体：8立方体に囲まれた1つの４次元超立方体が出来る。
（５次元）16点と32線と24面と8立方体と1つの４次元超立方体が複写され、点が32（16＊2）：線32本の倍と16点から糸引いて線が16本加わる（32＊2＋16）で８０本：24面が倍と32線から32面が作られる（24＊2＋32）８０面：8立方体の倍と24面から24立方体が加わる（8＊2＋24）４０立方体：1つの４次元立方体の倍と8立方体から出来た1つの４次元超立方体（1＊2＋8）１０の４次元立方体：10の４次元立方体に囲まれた1つの5次元超立方体が出来る。

高次元超立方体に入ったばかりですが、これ以上続けると、怒られそうなので、この辺で。兎に角・・・同じやり方の繰り返しです。

超球も同じです、次元ごとの係数を追っかけて行けば、何か見えます。近道が----・・・・それがヒント

間違いました。
（２次元）２点と線１本複写され、点が４（＝2＊2）：１線が倍と4点から糸引いて線が4本加わる（1＊1＋1）４本：（2＊2では有りません）、4本の線の間に膜が(４本の線に囲まれた）出来て面が１できる　　　　正しくは＝＝＝＞

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・：１線が倍と2点から糸引いて線が2本加わる（1＊1＋2）４本、（2＊2では有りませ）：・・・・・・・・

また間違いました。何をしてるんだか？
（２次元）２点と線１本複写され、点が４（＝2＊2）：１線が倍と4点から糸引いて線が4本加わる（1＊1＋1）４本：（2＊2では有りません）、4本の線の間に膜が(４本の線に囲まれた）出来て面が１できる　　　　正しくは＝＝＝＞

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・：１線が倍と2点から糸引いて線が2本加わる（1＊2＋2）４本、（2＊2では有りません）：・・・・・・・・

いつも真夜中ですみません。直感でも思いついた答えを書いてもらえると、嬉しいのですが。
超球のヒントとしては係数の関係は０次元と2次元の関係は２次元と４次元の関係と同じ、１次元と３次元との関係とも同じ。ところが２次元と３次元の関係が３次元と４次元の関係に適用できるかと言えばそうではない。
同次元のＶとＳも簡単な関係がある。
数学は以前に証明された事柄を自分自身が証明しなくても、「～は明白である」としてその先から続ける論法が許される事。つまり２次元、３次元の表面積や体積を、自分自身が積分で算出しなくても、使えるということです。勿論、基本に忠実に全て積分で算出というやり方もありますが。・・・手を抜いても正解は出る。

a2giさん、私の超立方体の表の数字はあくまで、「要素数」であって面積や体積では有りません。（最初に断らなければ行けなかったかもしれませんが、かえってややこしくなると思いまして書きませんでした）
超球は「半径ｒつまり直径2ｒ」なので、面積等を比べるときは1辺の長さを2ｒ（つまり超球の外接）にしなければ大きさの比較は正確ではありません。それで、長さは2倍、面積は4倍、体積は8倍・・・・にしてください。
ただし、超立方体は何次元であろうと0次元（つまり点）要素が存在（認識）出来ますが、超球には超体積と超表面積しか認識できません（その他の要素は、もはや境界としては存在しなくなるからです。
超、超、々・・・と書きましたが、実は「亜」も含まれています。その辺をご理解ください。
1次元：亜々　2次元：亜　3次元：正　4次元：超　5次元：超々：６次元：超々々・・・　これら全てを「超」で表現してます。

　Ｎ次超球の（超）表面積｛Ｓ｝と（超）体積｛Ｖ｝の関係表

(0次元体）　　（1次元体）　　（2次元体）　　（3次元体）　　　　（４次元体）　　　 （５次元体）

＝点 ＝線　　　　　＝円 　　　　　　＝球 　　　　　　＝4次元超球

次元

0　　　　1

1　　　 2　*r/1=> 2r

2　　　　　　　　　 2πｒ *r/2=>π（ｒ^2）

3 　　　　　　　　　　　　　　　　　4π（ｒ^2）　*r/3=>　4/3π(r^3)　

4　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2(π^2)(r^3）*r/4=>1/2（π^2)(r^4)

5 8/3（π^2)(r^4)*r/5=> 8/15（π^2)(r^5)　　　

（５次元体）　　（６次元体）　　（７次元体）　　（８次元体）　　（９次元体）　　（１０次元）

次元

6　　 (π＾3)(r^5)　*r/6=>１/6(π~3)(r^6)

7 　　　　　　　　　16/15(π^3))(r^6)　*r/7=>16/105(π^3)(r^7)

8　　　　　　　　　　　　　　　　 1/3(π^4)(r^7)　*r/8=>1/24(π^4)(r＾8）

9 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　32/105(π^4)(r^8)　*r/9=>32/945(π^4)(r^9)

10　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1/12(π^5)(r^9)　*r/10=>1/120(π^5)(r^10)　　　　　

関係式は下記 Sは超表面積　Ｖは超体積　nは次元数

S(n+2)=S(n)*２πｒ ：（超）表面積は2次元小さい（超）表面積に2πｒを掛けた値になる。

V(n)=S(n)*r/n　　　：（超）体積は同じ次元の（超）表面積にｒ/nを掛けた値になる。

　　　　　　　　　　　　　　｛つまり表面積×半径÷（次元数）となる｝



Ｓａｍｐｏさんの回答で3次元球の体積の出し方は、ほぼ教科書どおりですね。

半円ｙ＝ｆ（ｘ）＝√(r^2-x^2）をｘ軸の周りに回転した時の回転体の体積Ｖ＝π∫[a,b]y^2・ｄｘ＝π∫[-r,r]y^2・dx=2π∫[0,r](r^2-x^2)dx=2π｛r^2・x-x^3/3｝=4/3πr^3（Ｓａｍｐｏさんと同じ）

ただ、4次元球の体積を求める時にＶをそのまま係数として代入している辺りから違っているようです。

解答は前ページの通りですが、2－＞3－＞4と関係していくのでなく、0－＞2－＞４－＞6、1－＞3－＞5と1つ置きに係数が関係します。正確にイメージを捉えて積分すれば、正しく出るのですが、高次になると面倒です。

積分自体の考え方ですが、平行にスライスされた（厚さが等しい）物ばかりでなく、回転体（軸を中心に回転・扇形の寄せ集め）の積分もあるわけです。今回は全ての次元で回転体と捉えた方が分りやすいです。極座標は都合いいです。積分自体は中心軌跡に沿ってそれに垂直な（変化する）面積の寄せ集めが体積（面積を求める時は長さの寄せ集め）となり、4次元は3次元体積の寄せ集めとなります。

回転体では、周長は1点に周長、球面積は直径に周長を掛ける事も分ると思います。（つまり、2次元低いＶに2πｒを掛ければ算出できる事も分ります。

そこで、直線、三角形、錐の系列を考えてみると、長さ、面積、体積はそれぞれ両端長、底辺長さ＊高さ、底面積＊高さを次元（1，2，3・・・）で割ればよい事に気づきます。

回転体にした時は周長＊半径/2、表面積＊半径/3・・・となる事は容易に分ります。

だから、積分の基礎的考えは必要だけれど、係数の算出だけならば、中学生でもできると言ったわけです。

最後の表が少し左にずれたところがありますが、うまく見てください。
少し、期限までありますが、終了したいと思います。
もっと、気軽にいろいろな回答があると思いましたが、イメージ的に捉え難かったようですね。
私は、空間が3次でも4次でもそんなに難しく無いと思ったのですが。

お二人様、長い間悩ませてすみませんでした。

専門家の意見を入れ無かったのは、（いろいろと参考になりますが）ＵＲＬのみ貼られたのでは求めている答え以外の記述が多くて、本来の答えを探すのに苦労するからです。

コメントなどは無理ですが
http://hatenadiary.g.hatena.ne.jp/keyword/%E6%95%B0%E5%BC%8F%E3%82%92%E8%A1%A8%E7%A4%BA%E3%81%99%E3%82%8B%EF%BC%88tex%E8%A8%98%E6%B3%95%EF%BC%89
でminiTexを使って数式の表示ができますよ。
私はどちらかというと専門家というか数学に精通している人がどれだけさまざまなアプローチの仕方で回答するのを見てみたかったですね。
規則がありそうだというのには気づくけど、どちらかというとそれよりなぜ規則があるのかのほうが興味がありますね。
説明としてはn-1次元の図形の回転体を用いてｎ次元超球を作るからなんでしょうけど
他にも色々なアプローチの仕方がありそう。
私は理解したわけじゃないけど
http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/danmen.htm
を見て「ふーん」という感じがしました。
（奇数次元と偶数次元で分けるのがなぜかもここ見て、そういうわけなのね～という感じがしました）

a2giさん、ありがとうございました。
ご紹介頂いた、[miniTex]を使って数式を書いてみます。
また、http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/danmen.htmも拝見しました、その中に4次元超立方体の3次元への投影図（正確にはそれを2次元に投影したもの）が有りましたね、あれでかなり4次元超立方体のイメージは掴めると思います。
○（奇数次元と偶数次元で分かれる）のは数学では奇数と偶数では「おのおの独立した法則があるものがしばしば存在する」と言う事ではないでしょうか、ベルヌーイ数とか、パリティチェック,タタミの引き方、15ゲームなど
「ＡタイプとＢタイプは別世界」と思わせる現象。物理の基本問題にも「反転回数」がありますね。
○今回の質問は失敗だったかも、a2giさんが言われるように、もっと多くの方からの回答を期待していたのですが、私は面白可笑しくやろうと思ったのですが、やはり「専門家とか数学に精通している人」の意見を制止するような語句を入れるべきではなかったかもしれません。それについては今後、なるべく広い範囲の方から意見が得られる様考えます。
数学は（おかしく思われるかもしれませんが）答えはどうにでもなる学問だと思うのです。しかし、その答えにいたる論理をしっかり確立する事が絶対条件となります。だから、その論理を使って演算すればいつも同じ答えが出るのです。a2giさんが言われるように答えに至るいろいろなアプローチを求めるべきでした。
山の上に行くのに、歩いてゆく、籠に乗る（他人の力を利用）、ロープウェイを利用、果ては超能力で瞬間移動・・・どれでもいいのです目的が達成できれば。しかしその方法がブラックボックスのままでは困るのです。
それが数学ではないでしょうか。

最後に前の表が見にくい（理解しにくい・分りにくい）と思いますので少し改良しました。

次元 S(n) ＝ V(n-2) *2π（r^2)
n 　 　 　 　 　 　
0
1 2(point) ＝
2 2 π ｒ ＝ 1(point) *2π（r^2)
3 4 π (r^2) ＝ 2 r *2π（r^2)
4 2 (π^2) (r^3) ＝ 1 π (r^2) *2π（r^2)
5 8/3 (π^2) (r^4) ＝ 4/3 π (r^3) *2π（r^2)
6 1 (π^3) (r^5) ＝ 1/2 (π^2) (r^4) *2π（r^2)
7 16/15 (π^3) (r^6) ＝ 8/3 (π^2) (r^5) *2π（r^2)
8 1/3 (π^4) (r^7) ＝ 1/6 (π^3) (r^6) *2π（r^2)
9 32/105 (π^4) (r^8) ＝ 16/105 (π^3) (r^7) *2π（r^2)
10 1/12 (π^5) (r^9) ＝ 1/24 (π^4) (r^8) *2π（r^2)
32/945 (π^4) (r^9) *2π（r^2)
1/120 (π^5) (r^10) *2π（r^2)

V(n) = S(n) *(r/n)
n 　 　 　 　 　 　
0 1(point)
1 2 r ＝ 2(point) *(r/1)
2 1 π (r^2) ＝ 2 π ｒ *(r/2)
3 4/3 π (r^3) ＝ 4 π (r^2) *(r/3)
4 1/2 (π^2) (r^4) ＝ 2 (π^2) (r^3) *(r/4)
5 8/3 (π^2) (r^5) ＝ 8/3 (π^2) (r^4) *(r/5)
6 1/6 (π^3) (r^6) ＝ 1 (π^3) (r^5) *(r/6)
7 16/105 (π^3) (r^7) ＝ 16/15 (π^3) (r^6) *(r/7)
8 1/24 (π^4) (r^8) ＝ 1/3 (π^4) (r^7) *(r/8)
9 32/945 (π^4) (r^9) ＝ 32/105 (π^4) (r^8) *(r/9)
10 1/120 (π^5) (r^10) ＝ 1/12 (π^5) (r^9) *(r/10)

訂正　　誤り　＊2π（ｒ＾２）　＝＞　正　＊2πｒ

次元 S(n) ＝ V(n-2) *2πr
n 　 　 　 　 　 　
0
1 2(point) ＝
2 2 π ｒ ＝ 1(point) *2πr
3 4 π (r^2) ＝ 2 r *2πr
4 2 (π^2) (r^3) ＝ 1 π (r^2) *2πr
5 8/3 (π^2) (r^4) ＝ 4/3 π (r^3) *2πr
6 1 (π^3) (r^5) ＝ 1/2 (π^2) (r^4) *2πr
7 16/15 (π^3) (r^6) ＝ 8/3 (π^2) (r^5) *2πr
8 1/3 (π^4) (r^7) ＝ 1/6 (π^3) (r^6) *2πr
9 32/105 (π^4) (r^8) ＝ 16/105 (π^3) (r^7) *2πr
10 1/12 (π^5) (r^9) ＝ 1/24 (π^4) (r^8) *2πr


です　ワープロからのコピー編集上のミスです

Sampoさん、a2giさん、もう一度同様の質問をしてみましたので、そちらの方も監視ください。少しは専門家や数学に精通している人の回答がくればよいですが。もしかしたら、赤ん坊でも理解できる解き方が見つかるかも。