＜問題＞

• (-2,1)と(α,β)の中点が(x,y)である。
• xとyにはy=x^2という関係がある。

という前提のもとに話をするのですから

• x={α+(-2)}/2
• y=(β+1)/2
• y=x^2

の3式は（上の前提のもとでは）常に真です。ですから、この3式からどう導出した式もすべて真です。

これがまず頭にあります。

目的は、αとβの関係を知ること、もっと具体的にいえば、αかβが含まれ、αとβ以外の文字が含まれていない、常に真である式を得ることです。

簡単に言えば、xとyが邪魔だから消去してしまいたいんですね。数式を正しくいじって、xとyのない、αかβの含まれた式を得るには……

せっかく、x=……、y=……の形の式があるのだから、これをy=x^2に代入してしまえばxもyも一気に消えてしまい、目的の式が得られる、というわけです。

http://dummy

この問題には、主に２つの条件があります。

条件１：AP=AP'

条件２：点PはC上にある　⇔P(x,y) とおくと y=x^2 を満たす

その上で、

問い：P'(α,β)とおくと、α,βの満たす関係式を求めよ。（≒「点P'の描く曲線を求めよ。」）

さて、条件１から(＊)が出てきます。では条件２はどのように使うのでしょうか。

(＊)の式の中に、x,yの文字があります。

これは何だったかというと、P(x,y)とおいたものです。だから y=x^2 は条件２より成り立ちます。

y=x^2・・・①

また、x=(α-2)/2　かつ　y=(β+1)/2・・・(＊)

これは、x という値と、(α-2)/2 という値が同じということです。同じなのだから、①の x を(α-2)/2に書き換えます。

y と (β+1)/2 も同様です。

なぜ書き換えるかというと、問いが「α,βの満たす関係式を求めよ。」だからです。

――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――

参考として、別の方法を書きます。（こちらは類題を解く時に使いづらいことがあります。）

（＊）のyの式を変形して、β=2y-1

y=x^2を満たすので代入して、β=2x^2-1

これに（＊）のxの式を代入して、β=2{(α-2)/2}^2-1

http://www.hatena.ne.jp/　←ダミー

再質問の回答です。

確かにここまでの解答でわかることは、厳密には

点P'が条件1と2を満たす　⇒　β=1/2(α-2)^2-1 …(#)が成り立つ

ですね。「逆」が成り立つことは説明されていません。つまり、

「放物線C' y=1/2(x-2)^2-1 上の"全ての"点に対して、C上のある点P(x,y)が存在し、条件1と2が成り立つ」

ことは解答に含まれていません。

これは次のようにして証明できます。

任意の放物線C' y=1/2(x-2)^2-1 上の点P'(α,β)をとる。

ここで、点((α-2)/2,(β+1)/2)を考えると、これは条件１を満たす（つまりAP'の中点である）。

更に、これは条件２も満たす。なぜならば、P'(α,β)はC'上の点をとってきたのだから、(#)が成り立つ。

β=1/2(α-2)^2-1

β+1=1/2(α-2)^2

(β+1)/2=1/4(α-2)^2

(β+1)/2={1/2(α-2)}^2　　　←y=x^2の形

よって「放物線C' y=1/2(x-2)^2-1 上の"全ての"点に対して、C上のある点P(x,y)が存在し、条件1と2が成り立つ」。

見ての通り、最初の解答を逆にたどっていっただけですので、こういう場合は「逆」が成り立つことのの証明は省略できる、というのが通例です。

――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――

ただし、他の奇跡の問題の中には、逆は成り立たない場合もあります。

つまり、計算して出てきた図形の中に、条件を満たさない"例外の"点がある問題もがある、ということです。

ですので、解答上はともかく、頭では例外があるか考えた方がより確実ではあると思います。

http://www.hatena.ne.jp/