クラインの壷というものがありますが、これをパリーンと「割ると」どうなるのでしょうか？

次元を下げてメビウスの輪について考えると、

メビウスの輪は２次元空間では作ることが不可能ですが、３次元では作ることができます。

そして、メビウスの輪を適当に切り刻んだ時、残るのはただの帯であり、２次元で現せるものです。

あくまで類推ですが、

３次元：クラインの壷　と　２次元：メビウスの輪　の対応から考えますと、

３次元空間では作れないクラインの壷も、割れたものは３次元的に矛盾はないものになると思います。

あくまで「つなげ方」が次元的に制約があるのであって、

部分部分をとれば、クラインの壷も３次元物質なのではないでしょうか。

もしsplintさんにとって自明のことであったなら申し訳ありません。

まず、割るか割らないかは別にして、クラインの壷は理想的な数学上の曲面として

考えられているので、それを物質で作ることにはいくぶんかの困難が伴います。こ

れは、「直線」というのを物質で作るのが難しいことと同じです。直線には

太さがありませんが、どんな細いペンで紙に直線を書こうとも太さは生じて

しまいます。定規のフチを直線とみなせば、太さはありませんが、原子や

素粒子レベルではやはり直線とはいえないでしょう。

こう考えると、クラインの壷だけではなく、球とか、三角形とかも厳密には

存在不可能なわけです。そういう形のものを例えばプラスチックとか金属

で作ったとして、それらの現実物体をみて、われわれはその表面の境界平面

を「球とみなしている」にすぎない。シャボン玉を球とみるときでも、その

シャボン玉を構成している膜の表側を球とみることもできるし、裏側を球と

見ることもできます。膜の厚さがかなり薄いのでわれわれは特に表面と

裏面を区別することなく、全体としておおむね球と認識するでしょう。

さて、前置きが長かったですが、クラインの壷を作るときに以下をまず

おさえておきたかったです。

　・厳密に数学的に現実物質で作ることは不可能。ただこれは

　　クラインの壷に限った話ではない

　・日常の認識のレベルでは、まあ作ることができるかもしれない。

　　とはいえ、人間がそれを「球だね」「クラインの壷だね」と

　　認知できるレベル。

その上で、

　・そのレベルで作ろうとしたときに、「面」を物質の存在・不存在の

　　「境界」として作るのか「膜」として作るのかという２つの方針が

　　ありうる。球でたとえるとボーリングの玉のようなものか、

　　シャボン玉か。クラインの壷の場合、「もぐりこみ」があるので、

　　あるいは逆転があるので、「境界」としては作りにくい。なので、

　　「膜」として作るほうが多分実現性が高い。

　・膜というのも、原子レベルで見ると、分子のならびにすぎない。

　　表面にせよ、裏面にせよ、ある境界を面とみなすことで

　　球面なり平面を人間が認識することになる。

　・そう考えると、例えば「網」みたいなものでクラインの

　　壷を実現しても別によいことになる。きめの細かさの程度の問題。

いかがでしょうか。元の質問に対する答えは、割るか割らないかは

関係なく、数学的には作れないし、近似的なものは作れる、です。

まず、クラインの壷を位相幾何学的にとらえるか、微分幾何学的にとらえるかでちがいます。

直感でいうとクラインの壷がゴムでできてるか、ガラスでできてるかの違いです。

ゴムでできていた場合、Wizeさんの回答と、そこでしている自問のとおりです。例えば、WikiPediaの絵を逆に見れば、クラインの壷を切り刻んで一枚の正方形のゴムにしたとも言えます。

ガラスでできてた場合、予想は正しいです。つまり「割れた破片が3次元的に矛盾のない形になるならば、クラインの壷が普通の物質から作れてしまうこと」になります。さらに踏み込んで対偶で言えば、「クラインの壷を割った場合、必ず一つ以上は 3次元的に実現不可能な破片ができます」。

Wizeさんの例で言えば、メビウスの輪がガラスなら、どこかに 3次元的な曲面が必ずあるはずだということです。

ここら辺の、位相幾何学的な性質が微分幾何学的な性質を決めてしまうのは、幾何学の妙味でしょう。多分、近年解決されたポアンカレ予想にもそういった性質が使われたのだと思います (自分はまったく理解してませんが)。