以下の微分方程式の解放を探しています。いろいろな情報を探ったのですが、解法までたどり着けませんでした。

Question

sorakihu

9

9もっと見る

135pt

学習・教育科学・統計資料

以下の微分方程式の解放を探しています。いろいろな情報を探ったのですが、解法までたどり着けませんでした。

f'(x) = -f(x) - 2x - cosx + 1

回答の条件

1人2回まで

登録：2006/12/11 15:49:20
終了：2006/12/18 15:45:46

※ 有料アンケート・ポイント付き質問機能は2023年2月28日に終了しました。

kasapakov 2006/12/18 20:18:29

間違ってしまいスミマセン(^^;A)

人力検索はてなの日記 - 質問を終了しても「締切」となる不具合について2 人力検索はてなの日記 2006-12-18 17:00:46

質問を終了しても「締切」となる不具合について2 先日修正しました、質問を終了しても「締切」状態となる不具合(g:hatena:id:hatenaquestion:20061216:1166266066)につきまして、現時点で不具合の対象

「あの人に答えてほしい」「この質問はあの人が答えられそう」というときに、回答リクエストを送ってみてましょう。

これ以上回答リクエストを送信することはできません。制限について

リクエスト送信済

回答リクエストを送信したユーザーはいません

yo-kun · Answer 1 · 2006-12-11T17:41:53+09:00

「１階線形微分方程式」で調べてみてください。

微分積分の教科書にも載っているはずです。

1階線形微分方程式とは

$f'(x)+P(x)f(x)=Q(x)$

という形式の微分方程式のことです。

この形の微分方程式の解は

$\nosmash f(x)=e^{-\int P(x)dx}\left\{{\smash\int(Q(x)e^{\int P(x)dx}}dx + C\right\}$

となることが知られています。(Cは積分定数)

(ここで証明まで書くと大変なので教科書などを参照して下さい)

今回ご質問された微分方程式は

$P(x)=1$

$Q(x)=-2x-\cos x+1$

の場合にあたります。

解が複雑に感じるかも知れませんが、今回の問題は

$P(x)=1$

つまり、

$\int P(x)dx=x$

なので、結局

$f(x)=e^{-x}\left\{\int Q(x)e^x dx +C\right\}$

ということになります。

これを計算すると結局

$f(x)=-2(x-1)-\frac12(\cos x+\sin x)+1+C'$

となります。

( $C'=Ce^{-x}$ としました)

yo-kun · Answer 2 · 2006-12-11T19:25:23+09:00

ゴメンなさい！↑の最後間違えました。

$C'=Ce^{-x}$

と書きましたが違います。

xの関数だから定数になるわけないですね。

そのまま

$f(x)=-2(x-1)-\frac12(\cos x+\sin x)+1+Ce^{-x}$

が解です。

大変失礼しました。

sugiyasato · Answer 3 · 2006-12-11T19:43:31+09:00

http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys/constOneLinearDiffEq/

　これは「線形微分方程式」の中でも簡単な形で，公式があります。（他にも色々と参考資料がWebで見つかるはずです）。

　右辺の $-f(x)$ を移項すると， $a=1$ , $Q(x)=-2x-cos(x)+1$ ということになりますから，代入して計算すればOK。途中で $x e^{x}$ と $e^{x}cos(x)$ の積分が出てきますが，どちらも部分積分で簡単に解けます。（後者は2回使って同じ形を出して整理）。1階微分が含まれているので積分定数Cが1つ出ます。

　答は， $y(x) = -2(x-1) -\frac~1~2 (sin(x)+cos(x)) + 1 + C e^{-x}$

ですね。

kilrey · Answer 4 · 2006-12-11T22:08:59+09:00

まず f'(x) = -f(x) に注目します。

これは明らかに定数Gを使って

f(x) = G exp(-x)

と解けます。

f(x) を微分する過程で残りの部分が出て来れば良いわけです。

問題の式もこの式に似た形になるはずです。

例えば、G を関数 g(x) だとみなします。

この f(x) = g(x) exp(x) はあらゆる関数形を網羅していますので、

この g(x) を解いても問題の答えが導けます。

実際に計算してみると

f'(x) = g'(x)exp(-x) - f(x)

が成り立ちます。つまり

g'(x) = (- 2x - cosx + 1) exp(x)

です。

あとは普通に解けることと思います。

kasapakov · Answer 5 · 2006-12-12T00:13:34+09:00

f(x) = u とすると f'(x) = -f(x) - 2x - cosx + 1 より

du/dx = -u -2x - cosx + 1

du/dx + u = -2x - cosx + 1 ．

ここで

u(x) = c(x)e^(-x) となる関数cが存在すると考えると、

(c'(x)e^(-x) - c(x)e^(-x)) + c(x)e^(-x) = -2x - cosx + 1

c'(x)e^(-x) = -2x - cosx + 1

∴ c'(x) = -2x(e^x) - (e^x)cosx + e^x ．

これを不定積分すると

c(x) = -∫(2x - 1)e^xdx - ∫(e^x)cosxdx

ここで

∫(2x - 1)e^xdx = (2x - 1)e^x - 2∫e^xdx

= (2x - 1)e^x + 2e^x = (2x + 1)e^x

∫(e^x)cosxdx = (e^x)/2(sinx + cosx)

なので　c(x) = -(2x + 1)e^x - (e^x)/2(sinx + cosx) + d

= e^x(-2x - 1 - 1/2(sinx + cosx) + d) (dは積分定数)　．

よって

u(x) = -2x - 1 - 1/2(sinx + cosx) + d　//

だと思う．（もう長いこと積分なんてやってないからぁゃιぃ(^^;)A）

以下の微分方程式の解放を探しています。いろいろな情報を探ったのですが、解法までたどり着けませんでした。

回答（5件）

yo-kun220302006/12/11 17:41:53

yo-kun220302006/12/11 19:25:23

sugiyasato15722006/12/11 19:43:31

kilrey1602006/12/11 22:08:59

kasapakov1002006/12/12 00:13:34

コメント（1件)

この質問への反応（ブックマークコメント）

トラックバック