┏0 1 0 0┓
┃0 0 1 0┃
┃0 0 0 1┃=A
┗1 0 0 0┛
┏0 0 1 0┓
┃0 0 0 1┃
┃1 0 0 0┃=A
┗0 1 0 0┛
それぞれの固有多項式、固有値を求めなさい。
対角化可能か理由を答えなさい。
解答なくしたんでちょっとわかりません……
どなたか分かる方よろしくお願いします。
No.1
343
11
60pt
固有値というのは、あるベクトルに行列をかけたつもりが、単なる定数倍になってしまうような、ベクトルと定数の組です。固有多項式は、固有ベクトルをx=(x1,x2,x3,x4)、固有値をeとするとAx=exで、(A-eI)x=0とも書けます。上のＡで展開すると以下になります。
x2-e.x1=0; x3-e.x2=0; x4-e.x3=0; x1-e.x4=0
x2=e.x1; x3=e.x2=e^2.x1; x4=e.x3=e^3.x1; x1=e.x4=e^4.x1なので、e^4=1。よって、±１と±iの４つが固有値になります。
また、下のＡで展開すると、以下になります。
x3-e.x1=0; x4-e.x2=0; x1-e.x3=0; x2-e.x4=0
固有値は、x3=e.x1=e^2.x3; x4=e.x2=e^2.x4となり、
e^2=1。よってe=±1の２つが固有値になります。
対角化というのは、対角成分しかない行列ＢをＢ＝(Ｐ^-1)ＡＰのように、Ａになにか両側からＰをかけて作れるかという話です。これは、固有値が全部バラバラなら可能で、上は４つバラバラですのでＯＫ、下は２つしかないのでダメとなります。詳しくはそういう教科書をどうぞ！
13
12
1
1
操作手順はわかってるんですが、そのまま解いていってもいいかわかんなかったのと、正しい解答が欲しかったので質問しました。参考にさせていただきます。ありがとうございました。