３次方程式の解の公式を導く際、

このURLのまん中下あたりにありますが，

与式を展開して整理すると，

(u^3+v^3+q) + (3uv+p)(u+v) = 0

となります。

u+v≠0 なので 3uv+p=0，つまり 3uv=-p でなければならないのです。

同時に u^3+v^3+q=0 という条件もわかります。

（なお，上のURLではp,qのかわりにm,nを使っています）。

3uv=-p , u^3+v^3=-qであれば、一般的に、

(u+v)^3+p(u+v)+q=0

が成り立つ。なぜなら、

(u+v)^3=u^3+3u^2v+3uv^2+v^3

(u+v)^3=(u^3+v^3)+3uv(u+v)

だから。

実際の解を得る時は、

v=-p/(3u)とすると、

u^3-p^3/27/u^3=q

となり、X=u^3とおくと、

X^2-qX-p^3/27=0

という2次方程式となります。

URLの算出例を見れば、わかりやすいです。

ここの、「二次項のない場合」に詳しいと思われます。以下、そのページの記号を用いて、補足します。A1をp、A0をqと読み替えてください。

書いてある通り、A0が0の時(=xの解のひとつが0の時)は簡単に二次方程式に出来るので、

それは置いておきます。

なので、「よって以下 A0 ≠ 0 とし、0 ≠ x = u + v と置いて式を変形する」のです。

あとは、(以下x^2は「xの2乗」と読んでください。)

x^3+A1x+A0=0⇔

(xをu+vと置くから)(u+v)^3+A1(u+v)+A0=0⇔

(展開する)u^3+v^3+3(u^2)v+3(v^2)u+A1(u+v)+A0=0⇔

(第3項から5項をu+vで括る)u^3+v^3+(3uv+A1)(u+v)+A0=0⇔

(整理)(u^3+v^3+A0)+(3uv+A1)(u+v)=0

ここで、x=u+vと最初置きましたが、

これはこちらの勝手で、どうとってもいいのです。たとえばx=1だったときに、1+0と置こうが、0.8+0.2と置こうが、xの値に変化はありませんから、こちらがときやすいように、uとvは置けます。xさえ変わらなければ。

そして、この場合の解きやすいおき方というのが、3uv=-A1(=-p)となるuとvなのです。

そうすることで、(3uv+A1)(u+v)が0であることが確定事項となり、残る条件が(u^3+v^3+A0)=0のみになるというわけです。

そう置くと、解説ページの連立方程式のような二つの式、

u^3+v^3=-A0=-q

3uv=-A1=-p

が出てきます。

(u+v)^3+p(u+v)+qを展開すると、

=(u^3+3u^2v+3uv^2+v^3)+p(u+v)+q

=u^3+v^3+(3uv+p)(u+v)+q=0

となるので、

この式を分解して、

3uv+p=0　　　-> uv=-p/3　←ここ

u^3+v^3+q=0　-> u^3+v^3=-q

という連立方程式が得られます。

ちなみにそれは「カルダノの公式」の途中式ですね。

URLの、

5.ガロア理論->d.3次方程式->カルダノの解法の現代的な表現

というところが参考になるかと思います。