(-1)×(-1)=1

そもそも負の数というものは物理的にはありえにくいものだと思えます。

(-x)*(-y)=xy

||

-x*-y

-(-xy)

マイナスをさらにマイナスにするとプラスになる（という概念）から

-(-xy)=xy

x=1 y=1　を代入

(-1)2(二乗)=1

URLではなくコメントで、と言う質問者さんのお申し出があることは承知の上であえてURLを紹介させて戴きました。

なぜなら、まさしくこの問題の解答といえるものが載っているからです。私がこれを写せば著作権に反しますので、あえてURLを載せました。ご了承下さい。

(A-B)x(C-D)=AxC-AxD-BxC+BxD

この公式は…

例えば、

(6-4)x(3-1)=6x3-6x1-4x3+4x1

===========================

○○××××

○○××××

△△□□□□

===========================

○の部分は、全体から△□を引いて、×□を引いて…□を引きすぎるから

□を足します。って事です。

この公式に当てはめて…

(-1)x(-1)=(0-1)x(0-1)=0x0-0x1-1x0+1x1=0-0-0+1=1

になります。

九州(マイナス)→名古屋(0地点)→東京(プラス)

東京に向かう=プラスとします。

九州へ向かう(-へ向かう)途中のA君が現在名古屋(0)にいたとして、

そのA君の1時間前にいた場所は(+1)東京よりの位置。

と言うことを金八先生が説明してましたが、わかりますか？

説明難しいですね。

URLはダミーです

証明ではないです。

y=x^2のグラフをx,y共に正の領域でグラフにし、もしそのグラフがxが負の領域でも同じように振舞うとしたら、yは正であることが期待されます。これによって、(-1)×(-1)=1であることが予測されます。

そもそも四則演算は正の数のために作られた規則で、同じ規則に負の数も従うように負の数を定義したと思うので、正確な証明は不可能だと思います。

と言うのも、数式を出してもその式が負の数にも適用可能なことを証明する為には(-1)×(-1)=1のような基本的な式を仮定しなければいけないからです。

数式での証明なら、示したい式の左辺に(-1)を足してあげて

(-1)×(-1)+(-1)=(-1)×(-1+1)=(-1)×0=0

途中で(-1)でくくりました。

つまり、(-1)×(-1)は(-1)を足すと0になる。よってこの値は1である。と証明できます（ただし、分配法則が負の数でも可能なことは仮定しています。

借金（マイナス１）を無くしたら（マイナス１）...振り出し（０）ってのは？

ガウス平面の上で、180゜+180゜=360゜はどうですか？

５＊１＝５

４＊１＝４

３＊１＝３

２＊１＝２

１＊１＝１

０＊１＝０

の事を考えると

-1＊１＝-1

となります

同様に考えれば

５＊(-1)＝-5

４＊(-1)＝-4

３＊(-1)＝-3

２＊(-1)＝-2

１＊(-1)＝-1

０＊(-1)＝０

となり

(-1)＊(-1)＝１

となると思います

5×(-1)=5

である。分配法則から

5×(-1)=(6-1)×(-1)

=(6 + (-1))×(-1)

=6×(-1) + (-1)×(-1)

= -6 + (-1)×(-1)

= -5

となり、この式が成り立つには、

(-1)×(-1)=1

でなければならない。

これで証明終了。

証明は１５−１６ページをご覧下さい。

でも、これで納得できますか？

＞いろいろ調べてみて，「負×負＝正」を“誰もが極自然だと感じる方法”によって納得させることは不可能であり，やはり，証明を用いた“そのように考えるしかないという，力ずくによる方法”によってしか理解できないと考えるようになりました．

証明うんぬんより、

＞そうなるように数学を創る他なかった．

と納得する他ないでしょう。

もし(-1)*(-1)≠1ならば、

両辺に(-1)を足して(-1)*(-1)+(-1)≠0

両辺を(-1)で割る(A÷A=1(A≠0)、0÷X=0(X≠0)より)　(-1)*1+1≠0

すると(A*1=Aと言う性質から)(-1)+1≠0

しかしこれは、負の数の定義に反している。

つまり、仮定は偽であった。よって、(-1)*(-1)=1である。

背理法でやってみましたが、、、ピンとこなければすみません。

URLはpdfです。

ベクトルの記号が入力できないので、Pというベクトルを→Pのように表わすとします。

→A=(-1,0)、→B=(-1,0)なるベクトル→A、→Bを考えます。

一般に→P(a,b)と→Q(c,d)の内積はac+bdですから、

（→A）・(→B)

=(-1)×(-1)+0×0

=(-1)×(-1)・・・(＊)

です。

ここで、(→A)=(→B)、｜→A｜=1より、

（→A）・(→B)

=｜→A｜^2

=1^2

=1

これと(＊)より、(-1)×(-1)=1が示されました。

q.e.d.

……という証明を思いついたのですが、どうも本質的ではないように感じます。

そもそも、私が書いた上記の証明も、「ベクトルの性質から、(-1)×(-1)=1が成り立つべきである」ことを言っているに過ぎず、証明にはなっていません。

URLの説明にあるように、人間が数の概念を拡張する際に、「負の数の乗算について、分配法則（やガウス平面やベクトルやその他もろもろの数学的性質）を満たすべき（満たした方が便利）である」として、新たに定義した、というのが正解ではないかと思います。

ただ、当方高校数学程度の知識しかありませんので、間違っていたら申し訳ありません。

掛け算というのは

□×○…□を○倍する　という意味ですよね。

つまり「×」の前後で意味が異なるわけです。

○倍するというのは○回足すことを意味します。

例１

２×３＝２＋２＋２＝６

そのため(−２）を３倍する場合はこうなります。

例２

(−２）×３＝(−２）＋(−２）＋(−２）＝−６

では２を−３倍するにはどうしたらいいでしょうか。

ここで「倍」の定義を拡張します。

正数のｎ倍はｎ回の加算でしたが

負数のｎ倍はｎ回の減算とします。

例３

２×（−３）＝−(２）−(２）−(２）＝−６

これで負数×負数が計算可能になります。

例４

（−２）×（−３）＝−（−２）−（−２）−（−２）＝２＋２＋２＝６

例５

（−１）×（−１）＝−（−１）＝１

いままでの演算規則を守るのを念頭におきます。

任意のaに対して、a*0=0が成り立つ。

だから（-１）*０＝０も成り立つ

また、（-１）＋１＝０で、分配法則（a+b)*c=a*c+b*cをつかうと、

（−１）＊（−１）＋（−１）＊１＝０

（−１）＊（−１）＋（−１）＝０

（−１）＊（−１）＝０

めでたし。

＃＃＃＃＃＃＃＃

では、だめですか？

引き算の概念はその差であるから

資産１円の人と借金１円の人の資産の差は2円とか、

出発地点より手前を-1mとすると出発地点より先1mは2mとかの例から

1-(-1)=2

はしっくりきませんか？

両辺から１を引くと

-(-1)=1

０の概念もとっつきづらいので、あえて差を２にしました。

再度投稿させていただきます。

面白い質問でいろいろ考えて楽しませてもらっています。はてなの回答も初めてですみません。

１５において

-(-1)=(-1)*(-1)

はしっくりこないということですが、正負の定義をも二つあると思います。

たとえば 1-1 の-は引くという処理を表しますが、

-1とだけ書くとその数字そのものの状態を表します。プラスも同様です。

同じ-で表現している以上それらを同義とみなした上で数式があるわけです。

つまり1-5=1+(-5)=1+(-1)*5としてもよいというわけです。（注１）

数学の表記方法をとるのであれば、上記同様-(-1)=(-1)*(-1)も問題なしと考えられます。

数式そのものがそれらを個別に表現出来ないわけです。なぜなら多種多様な意味に取れるからです。

初めてプログラムを勉強したとき変数に代入するという概念がうまく理解できませんでした。

なぜならプログラム言語では＝イコールをもって代入されるからです。

また小学生の足し算、引き算のイコールの使い方は

処理前（数式）= 処理結果　ということとほぼ同義だったのではないですか？

（例　５＋１＝６　は正解だが、５＋１＝３＋３とは書かないため）

（注１）

(-5)が(-1)*5になっていますが、借金１の５倍で借金５（つまり-5)で等価だと考えられます。

私はマイナスxマイナス＝プラスより数式の方がしっくりこないと感じることが多いです。

　　urlはダミーです。

　中学１年生（初めて負の数を学ぶとき）にする説明をやってみますと、

１，正、負の数の説明

　「＋３階上がった」は文字通り３階上がることを意味していて、＋３＝３と考えて良い。

　「−３階上がった」は「＋３階下がった」と同じ。−から＋に数字を直したとき、それを表していた「動き」が逆に進む。

　つまり正の数に対し負の数は反対に進む数字を示していて、表している数字を＋−逆にすると表す言葉が反対語になる。

　「-200円の利益」＝「+200円の損失」

　「＋３度上がった」＝「−３度下がった」

等々

２，正負の数の足し算の説明

　数直線で示しながら足し算と引き算をつかむ。

　数直線で暗黙の内に右に行くと増えて左に行くと減る、という感覚でみることができるように植え付けをしておくと楽。

　以上省略

３，正負の数のかけ算

3-0　前に正の数　×　後ろも正の数

　今まで通りであることの説明および、＋の符号が付いた数も同じ事を説明。

3-1　前に負の数　×　後ろ正の数（符号省略の数）

　(-3)*4

　これは「0に-3を4個足した数」なので・・・

0+(-3)+(-3)+(-3)+(-3)=-12

これは２番で負の数の足し算を学んだ方法で説明したとおりの足し算で、絶対値(途中省略したけど説明済みと言うことで)をかけ算した後負の符号を付ければいいと言うパターン認識を促す。

3-2　前に正の数（符号省略の数）　×　後ろ負の数

3*(-4)

　これは「0に3を-4回足した数である」=「0から3を+4回引いた数である」

と変換して0-3-3-3-3=-12

　これも2で説明した引き算および絶対値の積に負の符号を付ければいいというパターン認識を促す。

3-3、前に負の数　×　後ろも負の数

　(-3)*(-4)

「0に-3を-4回足した数」=「0から-3を4回引いた数」

と変換して0-(-3)-(-3)-(-3)-(-3)=0+3+3+3+3=+12

　これも2で引き算を鍛えた成果で理解させる！

負の数と負の数のかけ算が正になることをパターン認識を促す。

　ってなぐあい。

　結果

(-1)*(-1)=「0に-1を-1回足した数」=「0から-1を1回引いた数」=0-(-1)=1

　と理解しても良いけど、上記の流れでパターン認識をさせてから(-1)*(-1)=+1　を計算作業としてできることをなれさせるのが普通。

　(-1)*(-1)のように一番簡単な数字の方が説明しやすいんじゃないか？と思いがちなのですが、3とか-4の数字の方が説明に向いていると言うところがこの辺りではおもしろいところだったり。

　余録ですが、球の体積はアルキメデス方式で球を内接させる円柱（底面直径と高さが球の直径と同じ円柱）とこの円錐と底面と高さが同じ円錐を考え、円柱：球：円錐＝３：２：１の比だけ覚えておく、というのが高等小学生のやりかただそうです^^;

複素平面のお話です．

ご存知の通り虚数単位ｊはj=sqrt(-1)（ルート−１の意味です）で定義されます．

複素平面において，１は実軸＋方向へ，ｊは虚軸＋方向を意味します．

ここで１＊ｊ＝ｊは１を虚軸方向へ90度回転させたもの．

１＊ｊ＊ｊ＝ｊ＾２＝−１はそこからさらに90度回転させたもの．

１＊ｊ＊ｊ＊ｊ＝ｊ＾３＝−ｊはさらに90度回転．

最後に，

１＊ｊ＊ｊ＊ｊ＊ｊ＝ｊ＾４＝１はさらに90度回転させたもの．

結果として１に戻ります．

こんな感じでいいですか？

Ⅰ．ある集合C の元（要素）a,b,c について次の二つの演算を定義する。

加法 a+b は次を満たす。

　ア a + (b + c) = (a + b) + c （結合法則）

　イ a + 0 = 0 + a = a （となるようなC の元0 が存在する）

　ウ a + (-a) = (-a) + a = 0 （-a を a の逆元とする）

　エ a + b = b + a （交換法則）

乗法 ab は次を満たす。

　オ a(bc) = (ab)c （結合法則）

　カ a(bc) = (ab)(ac) （左分配法則）

　キ (ab)c = (ac) + (bc) （右分配法則）

　ク a1 = 1a = a （となるようなC の元1 が存在する）

　ケ ab = ba （交換法則）

Ⅱ．a0 = 0a = 0（…コ）を証明する。

0 = a0 - a0 （ウ）

= a( 0 + 0 ) - a0 （イで a=0）

= a0 + a0 - a0 （カ）

= a0 + ( a0 - a0 )

= a0 + 0 （ウ）

= a0

= 0a （ケ）　　q.e.d

Ⅲ．-a = (-1)a （…サ）を証明する。

a + (-1)a = 1a + (-1)a （ク）

= {1 + (-1)}a （キ）

= 0a （ウ）

= 0 （コ）

よって ウ より (-1)a は a の逆元であるから

(-1)a = -a　　q.e.d

Ⅳ．(-1)(-1) = 1 を証明する。

サ において a に -1 を代入すると，

（右辺）= (-1)(-1)

（左辺）= -(-1)

= 1 （ウ; -1 の逆元は 1）

以上で証明された。

数学ではなく算数でいきます。

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現在水槽に100リットルの水が溜まっています。

水槽の上部には水道の蛇口、

底には水を抜くための排水溝が付いています。

蛇口を空けると１分間に3リットルの水が水槽に注がれます。

排水溝の栓を開けると１分間に2リットルの水が水槽から出てゆきます。

蛇口は10分前から空けられたままの状態です。

排水溝は30分前から空けられたままの状態です。

現在から20分前に水槽の水は何リットルだったでしょうか。

100+3*(-10)+(-2)*(-20)=110

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昔、いとこにこの説明を聞いて納得したことがあります。

ダミーです